2025 七年级数学上册追及问题的路程差课件

一、追及问题的基本概念与核心要素演讲人1.追及问题的基本概念与核心要素2.路程差的核心地位：追及问题的逻辑起点3.典型题型解析：路程差在具体问题中的应用4.常见易错点与突破策略5.实际应用与数学思想渗透目录2025七年级数学上册追及问题的路程差课件引言：从生活场景到数学模型的联结各位同学，清晨上学时，你们是否有过这样的经历？明明和同桌同时从家出发，你步行速度慢，他骑车速度快，结果他在路口等了你5分钟；或是你出门晚了10分钟，一路小跑追赶前面匀速前进的妈妈？这些生活中“追赶”的场景，其实都蕴含着数学中“追及问题”的核心原理。今天，我们就从这些熟悉的场景出发，深入探究追及问题中“路程差”这一关键要素，掌握它的计算方法和应用逻辑。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，七年级学生初次接触追及问题时，往往对“为什么是速度差”“路程差从何而来”“不同出发方式下如何找路程差”等问题存在困惑。而解决这些困惑的关键，正是对“路程差”概念的深度理解。接下来，我们将以“路程差”为主线，从基础概念到复杂应用，逐步拆解追及问题的核心逻辑。01追及问题的基本概念与核心要素1追及问题的定义与典型场景追及问题是行程问题的重要分支，指两个（或多个）运动物体在同一直线或环形路径上，由于速度不同而产生的“从分离到相遇”的过程。其典型场景包括：同地不同时出发：如甲先出发10分钟，乙后出发追赶；同时不同地出发：如甲在乙前方500米处，两人同时向同一方向行进，乙速度更快；环形跑道追及：如两人同地同向出发，速度快者绕圈后追上速度慢者。这些场景的共同特征是：存在一个“速度快的物体”和一个“速度慢的物体”，两者最终会在某一时刻处于同一位置（即“追上”）。2追及问题的三大核心要素要解决追及问题，必须明确以下三个核心要素：路程差（Δs）：追及开始时，快者与慢者之间的初始距离（若同时不同地出发），或慢者因提前出发而多走的距离（若同地不同时出发）；速度差（Δv）：快者速度（v快）与慢者速度（v慢）的差值，即Δv=v快-v慢（注意：若v快≤v慢，则无法追上）；追及时间（t）：从追及开始到追上所用的时间。这三个要素通过公式紧密关联：路程差=速度差×追及时间（Δs=Δv×t）。这一公式是解决所有追及问题的“核心钥匙”，后续的所有分析都将围绕它展开。3从生活实例到数学模型的转化为了更直观地理解这三个要素，我们以一个具体场景为例：场景：周末，小明和爸爸去公园跑步。爸爸先从家出发，以60米/分钟的速度向公园行进；5分钟后，小明发现爸爸忘带水壶，于是从家出发，以100米/分钟的速度追赶。在此场景中：路程差Δs：爸爸提前出发5分钟，多走的距离为60×5=300米（即小明开始追赶时，与爸爸的距离）；速度差Δv：小明速度100米/分钟-爸爸速度60米/分钟=40米/分钟；追及时间t：根据公式t=Δs/Δv=300/40=7.5分钟（即小明出发7.5分钟后追上爸爸）。通过这个例子，我们可以清晰看到：路程差是追及的“起点”，速度差是追及的“动力”，追及时间则是两者共同作用的“结果”。02路程差的核心地位：追及问题的逻辑起点1为什么路程差是追及问题的关键？在相遇问题中，我们关注的是“两者相向而行时，总路程=速度和×时间”；而在追及问题中，两者同向而行，快者需要“弥补”与慢者之间的初始距离差，因此核心矛盾是“如何用速度优势抵消初始距离差”。此时，路程差就成为了问题的“逻辑起点”——没有路程差（或路程差为0），要么是两者同时同地出发（快者一开始就领先），要么是快者永远无法追上（速度差≤0）。2不同出发方式下路程差的计算方法追及问题的复杂性主要体现在“出发方式的多样性”上，不同的出发方式会导致路程差的计算方式不同。我们通过表格对比分析：|出发方式|关键特征|路程差Δs的计算方法|实例说明||-------------------|---------------------------|--------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------||同地不同时出发|慢者先出发，快者后出发|Δs=慢者速度×慢者提前出发的时间|爸爸先出发5分钟，速度60米/分钟，Δs=60×5=300米|2不同出发方式下路程差的计算方法1|同时不同地出发|两者同时出发，但初始位置不同（快者在后，慢者在前）|Δs=初始时两者的距离（慢者在前的距离）|小明在爸爸后方500米处，同时出发，Δs=500米|2|环形跑道同向出发|同地同时出发，沿环形路径同向而行|首次追及时，Δs=环形跑道周长（快者比慢者多跑一圈）|跑道周长400米，快者首次追上慢者时，Δs=400米|3|多次环形追及|快者追上慢者后继续行进，再次追上|第n次追及时，Δs=环形跑道周长×n|第二次追上时，Δs=400×2=800米|4特别提醒：在环形跑道问题中，路程差的本质是“快者相对于慢者多跑的圈数”。例如，若快者速度是慢者的2倍，那么每经过一圈时间，快者就会比慢者多跑一圈，从而追上一次。这一规律在解决多次追及问题时尤为重要。3公式推导：从“相对运动”理解路程差与速度差的关系为了进一步理解Δs=Δv×t的合理性，我们可以从“相对运动”的角度分析：假设以慢者为参考系（即把慢者视为静止），那么快者的“相对速度”就是Δv=v快-v慢。此时，快者需要以相对速度Δv跑完初始的路程差Δs，所需时间即为t=Δs/Δv。这一推导不仅验证了公式的正确性，还揭示了追及问题的本质——快者以相对于慢者的速度优势，逐步缩短初始的距离差。03典型题型解析：路程差在具体问题中的应用1基础题型：同地不同时出发的追及例题1：甲、乙两人从同一地点出发去学校，甲先出发，步行速度为4千米/小时；20分钟后，乙骑自行车出发，速度为12千米/小时。问乙出发后多久能追上甲？分析步骤：确定路程差Δs：甲提前出发20分钟（即1/3小时），走了4×(1/3)=4/3千米；计算速度差Δv：12-4=8千米/小时；追及时间t=Δs/Δv=(4/3)/8=1/6小时=10分钟。答案：乙出发后10分钟追上甲。2进阶题型：同时不同地出发的追及例题2：A、B两地相距15千米，甲从A地出发向B地行进，速度为5千米/小时；乙从B地出发向A地方向行进？不，题目应为“乙从B地出发向同一方向（假设向C地方向）行进”，但更常见的是“乙从A地后方的D地出发追赶甲”。更正为：甲从A地出发以5千米/小时向正东行进，乙从A地正东方向10千米处（即甲前方10千米）同时出发，以8千米/小时向正东行进。问乙多久能追上甲？分析步骤：确定路程差Δs：乙在甲前方10千米处，甲要追上乙，需弥补这10千米的差距（注意：若乙速度更快，则是乙追甲；此处假设乙速度8>甲5，所以乙追甲）；2进阶题型：同时不同地出发的追及（更正：原题可能表述不清，正确场景应为乙在甲后方，速度更快。例如：甲从A地出发以5km/h向东，乙从A地出发1小时后，从A地出发以8km/h向东追赶，则属于同地不同时。若乙从A地以西3km处同时出发，以8km/h向东，甲从A地以5km/h向东，则Δs=3km。）正确例题：甲从A地出发以5km/h向东，乙从A地以西3km处（即甲后方3km）同时出发，以8km/h向东追赶。求追及时间。路程差Δs=3km（乙在甲后方3km，需要追上）；速度差Δv=8-5=3km/h；追及时间t=3/3=1小时。答案：1小时后乙追上甲。3复杂题型：环形跑道的多次追及例题3：学校操场是一个周长400米的环形跑道，小明和小亮同时从起点出发，同向跑步。小明速度为6米/秒，小亮速度为4米/秒。问：（1）小明第一次追上小亮需要多久？（2）小明第二次追上小亮时，两人各跑了多少米？分析步骤：（1）首次追及时，路程差Δs=400米（小明比小亮多跑一圈）；速度差Δv=6-4=2米/秒；追及时间t=400/2=200秒。3复杂题型：环形跑道的多次追及

（2）第二次追及时，路程差Δs=400×2=800米；小明跑的距离=6×400=2400米；答案：（1）200秒；（2）小明2400米，小亮1600米。追及时间t=800/2=400秒；小亮跑的距离=4×400=1600米（验证：2400-1600=800=2×400，符合路程差）。4综合题型：结合“停留”或“变速”的追及例题4：货车以40千米/小时的速度从甲地开往乙地，1小时后，客车以60千米/小时的速度从甲地出发追赶。但客车出发30分钟后，因故障停留15分钟，之后继续以原速行驶。问客车最终能否追上货车？若能，何时追上？分析步骤：计算货车在客车出发前的路程差：40×1=40千米；客车前30分钟行驶的距离：60×0.5=30千米；此时货车行驶的时间=1+0.5=1.5小时，行驶距离=40×1.5=60千米；两车距离=60-30=30千米（客车出发后，货车继续前进，所以路程差变为40-(60×0.5-40×0.5)=40-(30-20)=30千米，更简单的方式是分段计算）；（更清晰的分段）：4综合题型：结合“停留”或“变速”的追及客车出发后0-0.5小时：客车行驶60×0.5=30km，货车行驶40×0.5=20km（因货车已提前1小时，总行驶时间1+0.5=1.5小时，总距离40×1.5=60km）；此时两车距离=60-30=30km（客车在货车后方30km）；客车停留0.25小时（15分钟）：货车继续行驶40×0.25=10km，总距离60+10=70km；客车仍在30km处，两车距离=70-30=40km；客车重新出发后，设再行驶t小时追上，此时：客车行驶距离=30+60t；货车行驶距离=70+40t；追上时：30+60t=70+40t→20t=40→t=2小时；总时间=0.5+0.25+2=2.75小时（即2小时45分钟）。答案：能追上，客车出发后2小时45分钟追上货车。04常见易错点与突破策略1易错点1：混淆“路程差”与“总路程”错误表现：部分同学在同时不同地出发的问题中，误将两地距离当作总路程，而忽略了追及问题中“同向而行”的特点。例如，认为“甲在乙前方100米，两人同向而行，甲速度3m/s，乙速度5m/s，路程差是100米”是正确的，但如果题目是“相向而行”，则路程差无意义（此时是相遇问题）。突破策略：明确追及问题的前提是“同向而行”，路程差仅指快者与慢者在追及方向上的初始距离差。可通过画图辅助理解，用箭头标注行进方向，标出初始位置和目标位置。2易错点2：速度差计算错误错误表现：将速度差算成“v快+v慢”（混淆相遇问题的速度和），或因单位不统一导致错误（如速度单位是千米/小时，时间单位是分钟，未转换）。突破策略：牢记追及问题中“速度差”的本质是“快者比慢者每单位时间多走的距离”，因此必须用减法；解题前统一单位（如将分钟转换为小时，或米转换为千米），避免计算失误。3易错点3：忽略“出发时间差”的影响错误表现：在同地不同时出发的问题中，忘记计算慢者提前出发的时间内所走的路程，直接用“速度差×时间=0”列方程。突破策略：用时间线法梳理事件顺序，例如：慢者在t=0时出发，快者在t=t0时出发，那么当快者出发后经过t小时追上时，慢者的总行驶时间是t0+t小时，其行驶距离为v慢×(t0+t)，快者的行驶距离为v快×t，两者相等时即为追上时刻（此时路程差=v慢×t0=(v快-v慢)×t）。05实际应用与数学思想渗透1生活中的追及问题追及问题并非仅存在于数学题中，它广泛应用于现实生活：交通救援：救护车需要追赶前方故障车辆，需计算最短追及时间；体育训练：长跑运动员通过控制速度差，实现对对手的超越；天文现象：行星绕太阳公转时，“冲日”现象（地球追上外行星）本质上是追及问题（地球公转速度快于外行星）。通过这些实例，同学们可以体会到：数学是描述现实世界的工具，追及问题的核心——路程差与速度差的关系，本质上是对“相对运动”的量化表达。2数学思想的渗透模型思想：将生活场景抽象为“路程差=速度差×时间”的数学模型，体现了“从具体到抽象”的数学思维；方程思想：通过设未知数、列方程解决问题，是初中数学的核心思想之一；极限思想：当速度差趋近于0时，追及时间趋近于无穷大（无法追上），这为后续学习“函数与极限”埋下伏笔。结语：路程差——追及问题的“定盘星”回顾本节课的学习，我们从生活场景出发，逐步拆解了追及问题的核心要素，重点分析了“路程差”在不同场景下的计算方法，并通过典型例题掌握了公式的应用。可以说，路程差是追