2025 七年级数学下册不等式基本性质（二）课件

一、温故知新：从“旧性质”到“新问题”演讲人CONTENTS温故知新：从“旧性质”到“新问题”深入探究：不等式基本性质（二）的推导与验证应用提升：从“性质”到“解题”的转化巩固练习：分层训练，强化理解总结升华：从“知识”到“思维”的跨越目录2025七年级数学下册不等式基本性质（二）课件各位同学、老师们，大家好。今天我们要共同探索不等式基本性质的第二部分内容。作为一线数学教师，我清晰记得去年带七年级学生学习这一章节时，孩子们从“等式性质”迁移到“不等式性质”时的困惑与突破——尤其是当涉及乘除运算时，不等号方向是否改变的问题，曾让不少同学反复出错。今天，我们就从已有的知识出发，一步步揭开“不等式基本性质（二）”的面纱，让大家不仅“知其然”，更“知其所以然”。01温故知新：从“旧性质”到“新问题”1回顾不等式基本性质（一）在上一节课中，我们已经学习了不等式的第一条基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。用数学符号表示就是：若(a>b)，则(a+c>b+c)（或(a-c>b-c)）；若(a<b)，则(a+c<b+c)（或(a-c<b-c)）。为了验证这个性质，我们曾用具体的数值举例：比如(5>3)，两边同时加2，得到(7>5)，不等号方向不变；两边同时减4，得到(1>-1)，方向依然不变。这说明“加减运算”不会改变不等式的方向，就像往两个杯子里同时倒入或倒出相同量的水，原本水位高的杯子依然更高。1回顾不等式基本性质（一）现在，我们遇到了新的挑战：如果对不等式两边同时进行乘法或除法运算，不等号的方向还会保持不变吗？这是今天要解决的核心问题。010203041.2提出新问题：乘除运算会改变不等号方向吗？举个生活中的例子：小明和小红各有一些零花钱，小明有10元，小红有8元（即(10>8)）。如果妈妈给两人的零花钱都乘以3倍（即同时乘3），小明变成30元，小红变成24元，此时(30>24)，不等号方向不变；如果两人都花掉一半的钱（即同时除以2），小明剩5元，小红剩4元，此时(5>4)，方向还是不变；1回顾不等式基本性质（一）但如果遇到“欠账”的情况：两人都欠了3倍的钱（即同时乘-3），小明欠30元（记为-30），小红欠24元（记为-24），此时(-30<-24)，不等号方向反转了！这说明，乘除运算的结果可能与乘除的“数的符号”有关——正数和负数会带来不同的影响。接下来，我们就通过严谨的数学探究来验证这一猜想。02深入探究：不等式基本性质（二）的推导与验证1探究1：两边同时乘（或除）同一个正数0504020301我们先选取几个具体的不等式，观察两边同时乘以正数后的变化：案例1：已知(4>2)，两边同时乘3，得到(12>6)（不等号方向不变）；案例2：已知(-3<-1)，两边同时乘2，得到(-6<-2)（方向不变）；案例3：已知(5>0)，两边同时乘(\frac{1}{2})（即除以2），得到(2.5>0)（方向不变）。再用代数符号表示一般情况：设(a>b)，且(c>0)，那么(ac)与(bc)的大小关系如何？1探究1：两边同时乘（或除）同一个正数我们可以用“作差法”验证：(ac-bc=c(a-b))。因为(a>b)，所以(a-b>0)；又因为(c>0)，所以(c(a-b)>0)，即(ac-bc>0)，因此(ac>bc)。由此可得第一条新性质：不等式基本性质（二）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。符号表示：若(a>b)且(c>0)，则(ac>bc)（或(\frac{a}{c}>\frac{b}{c})）；若(a<b)且(c>0)，则(ac<bc)（或(\frac{a}{c}<\frac{b}{c})）。2探究2：两边同时乘（或除）同一个负数接下来，我们研究负数的情况。同样用具体案例观察：案例4：已知(4>2)，两边同时乘-3，得到(-12<-6)（不等号方向反转）；案例5：已知(-3<-1)，两边同时乘-2，得到(6>2)（方向反转）；案例6：已知(5>0)，两边同时除以-5（即乘(-\frac{1}{5})），得到(-1<0)（方向反转）。同样用代数符号验证：设(a>b)，且(c<0)，那么(ac)与(bc)的大小关系如何？2探究2：两边同时乘（或除）同一个负数作差法：(ac-bc=c(a-b))。因为(a>b)，所以(a-b>0)；但(c<0)，所以(c(a-b)<0)，即(ac-bc<0)，因此(ac<bc)。这说明，当乘（或除）的数为负数时，不等号方向会反转。于是我们得到第二条新性质：不等式基本性质（三）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。符号表示：若(a>b)且(c<0)，则(ac<bc)（或(\frac{a}{c}<\frac{b}{c})）；若(a<b)且(c<0)，则(ac>bc)（或(\frac{a}{c}>\frac{b}{c})）。3关键辨析：性质（二）与（三）的区别与联系为了避免混淆，我们需要明确两个性质的核心差异：相同点：都是对不等式两边进行乘（或除）运算；不同点：乘（或除）的数的符号决定了不等号是否变向——正数不变向，负数必变向。这里有一个常见的误区：有些同学会忽略“乘除的数是否为0”。需要强调的是，不等式两边不能同时乘（或除）0，因为0乘任何数都为0，会导致不等式失去意义（例如(5>3)两边乘0，得到(0=0)，原不等式不再成立）。因此，性质（二）和（三）的前提是“乘（或除）的数不为0”。03应用提升：从“性质”到“解题”的转化1基础例题：直接应用性质判断不等号方向例1：判断下列变形是否正确，并说明理由：（1）若(3x>6)，则(x>2)（两边除以3）；（2）若(-2x<4)，则(x<-2)（两边除以-2）；（3）若(\frac{a}{-5}>2)，则(a>-10)（两边乘-5）。分析与解答：（1）正确。两边除以正数3，不等号方向不变，(3x\div3>6\div3)，即(x>2)；（2）错误。两边除以负数-2，不等号方向应改变，正确结果应为(x>-2)；1基础例题：直接应用性质判断不等号方向（3）错误。两边乘负数-5，不等号方向应改变，正确结果应为(a<-10)（原式(\frac{a}{-5}>2)两边乘-5，得(a<-10)）。通过这道题，我们要特别注意：当乘（或除）的数为负数时，必须先改变不等号方向，再进行计算。2综合例题：结合性质（一）与（二）解不等式例2：解不等式(2(1-x)+3\leq5x-4)，并将解集在数轴上表示出来。解题步骤：去括号：(2-2x+3\leq5x-4)（依据：分配律）；合并同类项：(5-2x\leq5x-4)（依据：加法交换律）；移项（两边加2x和4）：(5+4\leq5x+2x)（依据：性质（一），两边同时加2x和4，不等号方向不变）；合并同类项：(9\leq7x)；系数化为1（两边除以7）：(\frac{9}{7}\leqx)（即(x\geq\frac{9}{7})，依据：性质（二），除以正数7，方向不变）。2综合例题：结合性质（一）与（二）解不等式数轴表示：在数轴上找到(\frac{9}{7})（约1.29），画实心点，向右画射线，表示所有大于等于(\frac{9}{7})的数。这道题综合应用了不等式的加减性质（性质一）和乘除性质（性质二），需要注意每一步变形的依据，避免因疏忽符号而犯错。3易错警示：学生常见错误分析根据多年教学经验，学生在应用性质（二）和（三）时，最容易出现以下错误：忘记变号：当除以负数时，仍保持原不等号方向（如例1中的（2））；忽略分母的符号：在处理分数形式的不等式时，未注意分母的正负（如例1中的（3））；错误移项：移项时忘记“移正变负，移负变正”（本质是应用性质（一），但部分同学会与等式移项混淆）。针对这些问题，建议大家在解题时养成“标注符号”的习惯：在乘（或除）的数旁标注“正”或“负”，提醒自己是否需要变号；在移项时，用箭头标出每一步的依据（如“+2x”“-4”），确保逻辑清晰。04巩固练习：分层训练，强化理解1基础题（面向全体学生）填空：（1）若(-3a>6)，则(a)（依据：）；（2）若(\frac{x}{2}<-5)，则(x)（依据：）；（3）若(5b<-10)，则(b)（依据：）。判断正误：（1）若(a>b)，则(-2a>-2b)（）；（2）若(\frac{m}{-3}<n)，则(m>-3n)（）；（3）若(-4c\leq8)，则(c\geq-2)（）。2提升题（面向中等及以上学生）解不等式(-2(3x-1)>4x+5)，并写出所有负整数解。已知(3a-2b>3c-2b)，比较(a)和(c)的大小关系，并说明理由。3拓展题（面向学有余力学生）若不等式((k-2)x>1)的解集为(x<\frac{1}{k-2})，求(k)的取值范围。（提示：考虑不等号方向改变的条件）（答案与解析见课件附录，此处可留出5-8分钟让学生自主完成，教师巡视指导，重点关注基础题的易错点和提升题的逻辑推导。）05总结升华：从“知识”到“思维”的跨越1核心知识回顾今天我们学习了不等式基本性质（二）和（三），核心内容可总结为：性质（二）：两边乘（或除）正数，不等号方向不变；性质（三）：两边乘（或除）负数，不等号方向改变；关键前提：乘（或除）的数不能为0，且需注意符号对方向的影响。这两条性质与之前学的性质（一）（加减性质）共同构成了不等式变形的“三大法则”，是后续解一元一次不等式、分析实际问题中不等关系的基础。2思维方法提炼通过今天的学习，我们不仅要记住性质本身，更要掌握“从特殊到一般”的归纳思维——通过具体案例观察规律，再用代数符号验证一般情况；同时，“分类讨论”的思想也贯穿始终（正数、负数、0的不同影响）。这些思维方法将帮助我们在后续学习中更高效地探索新的数学规律。3情感激励回想起同学们在探究“乘负数是否变号”时的争论：有的同学坚持“等式乘任何数都不变号，不等式也一样”，有的同学通过具体例子反驳“5>3，乘-1后-5<-3，方向变了”。这种“质疑—验证—修正”的过程，正是数学学习的魅力所在。希望大家保持这种严谨