2025 七年级数学下册二元一次方程组解的存在性课件

一、知识回顾与问题引入：从“解的定义”到“存在性之问”演讲人知识回顾与问题引入：从“解的定义”到“存在性之问”01典型例题与应用：从理论到实践02核心探究：二元一次方程组解的存在性条件03总结与升华：从“存在性”到“数学思维的严谨性”04目录2025七年级数学下册二元一次方程组解的存在性课件各位同学、老师们：今天我们共同探讨的主题是“二元一次方程组解的存在性”。作为七年级下册“二元一次方程组”单元的核心内容之一，解的存在性问题既是对之前“解的定义”的深化，也是后续学习一次函数与二元一次方程组关系的重要基础。这节课，我们将从“是什么”“为什么”“怎么用”三个维度展开，逐步揭开二元一次方程组解的存在性的奥秘。01知识回顾与问题引入：从“解的定义”到“存在性之问”1温故知新：二元一次方程组的基本概念在学习“解的存在性”之前，我们需要先明确几个基础概念：二元一次方程：含有两个未知数（通常记为(x)和(y)），且未知数的最高次数为1的整式方程，形式一般为(ax+by=c)（(a,b)不同时为0）。二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组，形式一般为：[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}]1温故知新：二元一次方程组的基本概念方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值((x,y))。例如，方程组(\begin{cases}x+y=3\2x-y=0\end{cases})的解是(\begin{cases}x=1\y=2\end{cases})，因为它同时满足两个方程。2从“有解”到“是否一定有解”：问题的自然生成在之前的学习中，我们通过代入消元法或加减消元法求解了许多二元一次方程组，默认“方程组有解”。但现实中，是否所有二元一次方程组都有解？如果有，解是否唯一？这就是“解的存在性”要解决的问题。举个生活中的例子：小明用20元买了3支铅笔和2本笔记本，小红用15元买了2支铅笔和1本笔记本，能否求出铅笔和笔记本的单价？我们可以列出方程组：[\begin{cases}3x+2y=20\2x+y=15\end{cases}2从“有解”到“是否一定有解”：问题的自然生成]通过消元法可解得(x=10)，(y=-5)，但单价不可能为负数，这说明虽然代数上有解，但实际问题中可能因约束条件无解。不过，这里的“无解”是实际意义上的，我们今天讨论的是代数意义上的“解是否存在”。再比如，考虑方程组(\begin{cases}x+y=1\x+y=2\end{cases})，显然没有((x,y))能同时满足两个方程，这就是代数意义上的“无解”。思考：为什么有的方程组有解，有的没有？解的个数与方程组的系数有何关系？这需要我们从代数和几何两个角度深入分析。02核心探究：二元一次方程组解的存在性条件1代数视角：从消元法看解的存在性我们以一般形式的二元一次方程组为例：[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\quad(1)\a_2x+b_2y=c_2\quad(2)\end{cases}]1代数视角：从消元法看解的存在性消元求解用加减消元法消去(y)：方程(1)乘以(b_2)，得(a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2)；方程(2)乘以(b_1)，得(a_2b_1x+b_1b_2y=c_2b_1)；两式相减，消去(y)，得：((a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1)。1代数视角：从消元法看解的存在性消元求解步骤2：讨论解的情况消元后得到关于(x)的一元一次方程：(Dx=E)，其中(D=a_1b_2-a_2b_1)，(E=c_1b_2-c_2b_1)。情况1：(D\neq0)此时方程有唯一解(x=\frac{E}{D})，代入任一原方程可求得(y)，因此方程组有唯一解。情况2：(D=0)此时需进一步讨论(E)的值：若(E\neq0)，则方程(0\cdotx=E)无解，原方程组无解；1代数视角：从消元法看解的存在性消元求解若(E=0)，则方程(0\cdotx=0)对任意(x)成立，此时需回到原方程组分析(y)的取值。由于(D=0)，即(a_1b_2=a_2b_1)，不妨设(a_2=ka_1)，(b_2=kb_1)（(k\neq0)），则方程(2)变为(ka_1x+kb_1y=c_2)，即(a_1x+b_1y=\frac{c_2}{k})。若此时(\frac{c_2}{k}=c_1)（即(c_2=kc_1)），则两个方程实际上是同一个方程，此时(y)可表示为(y=\frac{c_1-a_1x}{b_1})（(b_1\neq0)），(x)可取任意值，因此方程组有无限多解。2几何视角：从直线的位置关系看解的存在性二元一次方程(ax+by=c)的图像是一条直线（当(b\neq0)时，可化为(y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b})，斜率为(-\frac{a}{b})，截距为(\frac{c}{b})）。因此，二元一次方程组的解对应两条直线的交点坐标。唯一解：两条直线相交于一点，此时它们的斜率不同（即(-\frac{a_1}{b_1}\neq-\frac{a_2}{b_2})，等价于(a_1b_2\neqa_2b_1)，即(D\neq0)）。无解：两条直线平行但不重合，此时它们的斜率相同（(-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2})，即(D=0)），但截距不同（(\frac{c_1}{b_1}\neq\frac{c_2}{b_2})，即(E\neq0)）。2几何视角：从直线的位置关系看解的存在性无限多解：两条直线重合，此时斜率和截距都相同（(-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2})且(\frac{c_1}{b_1}=\frac{c_2}{b_2})，即(D=0)且(E=0)）。总结：二元一次方程组解的存在性由系数和常数项的比例关系决定，具体可归纳为：|条件（(D=a_1b_2-a_2b_1)，(E=c_1b_2-c_2b_1)）|解的情况|几何意义||-------------------------------------------------------|----------------|------------------------||(D\neq0)|唯一解|两直线相交|2几何视角：从直线的位置关系看解的存在性|(D=0)且(E\neq0)|无解|两直线平行且不重合||(D=0)且(E=0)|无限多解|两直线重合|3特例辨析：系数为0的情况当方程组中某个方程的系数为0时（例如(b_1=0)），方程变为(a_1x=c_1)，即垂直于(x)轴的直线。此时需单独分析：若方程(1)为(a_1x=c_1)（(b_1=0)），方程(2)为(a_2x+b_2y=c_2)（(b_2\neq0)）：若(a_1\neq0)，则(x=\frac{c_1}{a_1})，代入方程(2)可求得唯一的(y)，因此方程组有唯一解；若(a_1=0)且(c_1\neq0)，则方程(1)无解，原方程组无解；若(a_1=0)且(c_1=0)，则方程(1)为(0=0)，此时方程(2)的解即为原方程组的解，因此有无限多解。这说明即使系数为0，上述“比例关系”的结论依然成立，只是需要特别注意分母为0的情况（此时不能直接用斜率比较，需用系数比）。03典型例题与应用：从理论到实践1基础例题：判断解的存在性例1：判断下列方程组的解的情况：(1)(\begin{cases}2x+3y=5\4x+6y=10\end{cases})(2)(\begin{cases}x-2y=3\2x-4y=7\end{cases})(3)(\begin{cases}3x+y=4\x-2y=1\end{cases})分析：1基础例题：判断解的存在性对于(1)，计算(D=2\times6-4\times3=12-12=0)，(E=5\times6-7\times3)（注意原方程组常数项为5和10，正确计算应为(E=c_1b_2-c_2b_1=5\times6-10\times3=30-30=0)），因此(D=0)且(E=0)，方程组有无限多解；对于(2)，(D=1\times(-4)-2\times(-2)=-4+4=0)，(E=3\times(-4)-7\times(-2)=-12+14=2\neq0)，因此无解；对于(3)，(D=3\times(-2)-1\times1=-6-1=-7\neq0)，因此有唯一解。答案：(1)无限多解；(2)无解；(3)唯一解。2综合应用：根据解的情况求参数值例2：已知方程组(\begin{cases}(k-1)x+2y=3\3x+(k+1)y=2\end{cases})，当(k)取何值时，方程组：(1)有唯一解；(2)无解；(3)无限多解？分析：首先计算(D=(k-1)(k+1)-3\times2=k^2-1-6=k^2-7)。(1)有唯一解的条件是(D\neq0)，即(k^2-7\neq0)，解得(k\neq\pm\sqrt{7})；(2)无解的条件是(D=0)且(E\neq0)。由(D=0)得(k2综合应用：根据解的情况求参数值=\sqrt{7})或(k=-\sqrt{7})。当(k=\sqrt{7})时，计算(E=3(k+1)-2\times2=3\sqrt{7}+3-4=3\sqrt{7}-1\neq0)（具体计算需代入原公式：(E=c_1b_2-c_2b_1=3(k+1)-2\times2=3k+3-4=3k-1)，当(k=\sqrt{7})时，(E=3\sqrt{7}-1\neq0)）；当(k=-\sqrt{7})时，(E=3(-\sqrt{7})-1=-3\sqrt{7}-1\neq0)；因此当(k=\pm\sqrt{7})时，方程组无解；2综合应用：根据解的情况求参数值(3)无限多解的条件是(D=0)且(E=0)。但由(2)可知，当(D=0)时，(E=3k-1)，若(E=0)则(k=\frac{1}{3})，但此时(D=(\frac{1}{3})^2-7=\frac{1}{9}-7\neq0)，矛盾，因此该方程组不存在无限多解的情况。答案：(1)(k\neq\pm\sqrt{7})；(2)(k=\pm\sqrt{7})；(3)无解。3实际问题中的应用：避免“虚假解”回到课前的例子：小明用20元买3支铅笔和2本笔记本，小红用15元买2支铅笔和1本笔记本，求单价。列出方程组：[\begin{cases}3x+2y=20\2x+y=15\end{cases}]3实际问题中的应用：避免“虚假解”计算(D=3\times1-2\times2=3-4=-1\neq0)，因此方程组有唯一解(x=10)，(y=-5)。但单价不能为负，这说明虽然代数上有解，但实际问题中需结合变量的实际意义（如单价为正）判断解的合理性。这提醒我们：解的存在性是代数概念，实际问题中还需检验解是否符合题意。04总结与升华：从“存在性”到“数学思维的严谨性”1核心知识总结二元一次方程组解的存在性由系数和常数项的比例关系决定，具体可归纳为：唯一解：系数比(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2})（(a_2,b_2\neq0)），对应两直线相交；无解：系数比(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq