浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 含解析

浙江强基联盟2025年12月高一联考

数学试题

浙江强基联盟研究院命制

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.sin120°的值为

BD

2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8),则

A.f(x)=4B.f(x)=2x²C.f(x)=x³D.f(x)=√x⁶

3.已知a=cos2,b=log₂√2,c=2⁰.5,则a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

4.函数的图象大致为

ABCD

5.已知tanα=3,则·

A.-1B.1C.3D.-3

6.函数f(x)=log+(x²—4x-5)的单调递减区间为

A.(2,+∞)B.(5,十∞)C.(一∞,2)D.(一∞,-1)

7.若“3x∈R,ax²-4ax+16≤0”是假命题，则实数a的取值范围为

A.(0,4)B.(0,4)

C.[0,4]D.(一∞,0)U[4,+∞]

8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x)在(一∞,0)上单调递增，且f(3)=0,则

不等式(x²—2x-3)f(x)≤0的解集为

A.(一∞,—3)B.(-1,十∞)

C.(一∞,-3)U[3,十∞)D.(一∞,-3)U[-1,+∞)

【高一数学第1页(共4页)】

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数(x∈R),则下列说法正确的是

A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的图象关于直线对称

C.f(x)的图象关于点中心对称

D.f(x)在上单调递增

10.函数f(x)=sinx+e的零点所在区间可以是

A.(一π,0)B.(-2π,一π)

C.(—3π,—2π)D.(一4π,—3π)

11.已知函数f(x)=|log2(x-1)|,且正实数a,b(a≠b)满足f(a)=f(b),则下列结论正确

的是

A.(a-1)(b-1)=1

B的最大值为3

C.a+2b的最小值为6

D的最大值为√2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知

13.已知函数R上的减函数，则实数a的取值范围是▲

14.若关于x的方程|4-|4—x²||=x+a恰有4个根，则实数a的取值范围是▲_·

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(13分)

已知函数

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由.

【高一数学第2页(共4页)】

16.(15分)

的最小正周期为π,且当时，

f(x)取得最小值—1.

(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.

17.(15分)

某药物研究所发现，病人在服用某种药物100mg后，血液中药物

的含量y(单位：100mg)在0～6小时内随时间x(单位：h)的变化

曲线如图所示.当0≤x≤1时，可选择用函数

(w>0)来近似地刻画y随x变化的规律；当1<x≤6时，可选择用函数

(a为常数)来近似地刻画y随x变化的规律.

(1)当0≤x≤6时，求这段曲线的函数解析式；

(2)如果该药物在病人血液中的含量保持在40mg以上时才有疗效，问病人一次性服用该药

物100mg,持续有疗效时长约为多少小时?(参考数据：1g2≈0.30)

【高一数学第3页(共4页)】

18.(17分)

已知定义域为R的函数(a,b是实数)是奇函数，且指数函数y=aˣ的图象与

函数y=log2x的图象关于直线y=x对称.

(1)求实数a,b的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；

(3)若方程f(9*+4)+f(t·3*+2)=0在(0,1)上恰有两个不相等的实数根，求实数t的取

值范围.

19.(17分)

教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心

对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=

f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)一b为奇函数.

(1)已知函数f(x)的定义域为R,且图象关于点(1,1)中心对称，求f(0)+f(1)+f(2)

的值.

(2)已知函数g(x)=x³+mx²+nx的图象关于点(1,1)中心对称.

(i)求实数m,n的值，并判断函数g(x)的单调性(不用证明);

(ii)若对任意的实数s,都存在实数x∈[1,3],使得不等式g(|x²+sx+t|)+g(2—x)

≥2成立，求实数t的取值范围.

【高一数学第4页(共4页)】

浙江强基联盟2025年12月高一联考

数学试题参考答案与评分标准

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

12345678

DCDCABBD

1.D.故选D.

2.C因为f(x)为幂函数，∴f(x)=x°,又因为图象过(2,8),所以f(2)=8,即2°=8,得α=3,∴f(x)=x³,故

选C.

3.D∵a=cos2<cos,c=2°.5>2°=1,∴c>b>a.故选D.

4.C∵f(x)的定义域为R,且f(一x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，A,B排除；又∵当

x>0时，f(x)<0,所以C正确.故选C.

5.A∵.故选A.

6.B∵函数f(x)的定义域为(x|x²—4x-5>0}→(-∞,-1)U(5,十∞),又∵f(t)=log+t的函数在定义

域上单调递减，二次函数t=x²—4x-5在(2,+∞)上递增，结合函数f(x)的定义域，得到函数f(x)的单调

递减区间为(5,十∞).故选B.

7.B∵3x∈R,ax²—4ax+16≤0是假命题，∴Vx∈R,ax²—4ax+16>0是真命题，首先当a=0时，显然成

立；当a≠0时，需要满足综上所述得到0≤a<4.故选B.

8.D由题意得当x∈(一∞,-3),f(x)≤0;x∈(一3,3),f(x)>0;x∈[3,+∞),f(x)<0;且当x∈(一∞,

-1],x²-2x-3>0;且当x∈(-1,3),x²-2x-3<0;且当x∈(3,十∞),x²-2x-3>0;∴x(-∞,-3)U

[-1,十∞]时，(x²-2x-3)f(x)≤0成立，故选D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

ABDACAB

9.ABD对于A,f(x)的最小正周期故A正确；对于B,当时，,所以f(x)的图

象关于直线对称，故B正确；对于C,当时，,所以f(x)的图象不关于点

中心对称，故C错误；对于D,当x∈时，2.,所以f(x)在上单

调递增，故D正确.故选ABD.

【高一数学卷参考答案第1页(共6页)】

10.AC由f(x)=sinx+e=0得sinx=-e,作出函数y=sinx与函数y=-e²的图象如图，由图可知在

区间(一π,0)和(-3π,—2π)上存在零点.故选AC.

11.AB由f(a)=f(b)可知log₂(a-1)=-log₂(b-1),所以(a-1)(b—1)=1,故A正确；由A可知ab

=a+b,所以,所以当且仅当即b=3时，等号

成立，故B正确,当且仅当即a=√2,b=1+√2

时，等号成立，故C错误；由,当且仅当即a

=b=2时，等号成立，因为a≠b,所以，,故D错误.故选AB.

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，

12.13.14

12.因为,所以

13.由题意得，当0<a<1时，函数y=a²单调递减，且当x=0时，y=1;当a-3<0时，函数y=(a-3)x十

2a单调递减，且当x=0时，y=2a.得解得即实数a的取值范围为

14.U(2√2,6)方程|4-|4-x²||=x+a恰有4个根等价于函数y=|4-|4-x²||与y=x+a

的图象有4个公共点，画出函数y=|4-|4-x²||与y=x+a的图象，分别求出4个临界位置，分别为与

y=x²相切、经过(2,4)、(-2√2,0)和(-2,4),求得直线方程为,y=x+2,y=x+2√2,y=x

+6,所以a∈)U(2√2,6).

【高一数学卷参考答案第2页(共6页)】

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

15.解：(1)由……………2分

得-2<x<2,4分

所以函数f(x)的定义域为(-2,2),…………6分

(2)定义域关于原点对称，

(写出2分)

所以函数f(x)为奇函数.…………………13分

16.解：(1)由得w=2,2分

由(k∈Z),解得(k∈Z),

因为,所以

……………5分

所以f(x)单调递增区间为(k∈Z).………………8分

(2)当时，∈,…………………10分

所以f(x)的值域为[0,3].…………………15分

17.解：(1)由题意知，当O≤x≤1时，函数的最大值为,最小值为0.

所以函数的周期为2,所以w=π,………3分

当1<x≤6时，函数过点(1,0.8),代入得a=0.………6分

【高一数学卷参考答案第3页(共6页)】

所求曲线的函数解析式为…………………7分

(2)当0≤x≤1时，令,解得.…………………10分

当1<x≤6时，令,两边同时取常用对数得

,解得

∴x2—x≈4-0.5=3.50,

故病人一次性服用药物100mg,持续有疗效时长约为3.50小时，………15分

18.解：(1)由指数函数y=aˣ的图象与函数y=log₂x的图象关于直线y=x对称，

得a=2,1分

又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,得b=-1,2分

所以

经检验，符合f(一x)=-f(x),

所以a=2,b=-13分

,f(x)在定义域内单调递增，………………4分

任取x₁,x₂∈R,且xi<x2,

,…………7分

其中x₁<x₂,所以2*1<2*2,

所以f(xi)-f(x₂)<0→f(x₁)<f(x₂),

所以f(x)在定义域内单调递增.……………9分

(3)由(1)(2)知f(9+4)+f(t·3²+2)=0

⇔f(9ˣ+4)=-f(t·3*+2)

⇔f(9*+4)=f(一t·3*+2)

台9+4=-t·3+2,即9+4+t·3+²=0,………………11分

令3²=m(x∈(0,1)),则m∈(1,3),

【高一数学卷参考答案第4页(共6页)】

上述方程可化为：m²+9tm+4=0在(1,3)上有两个不等实数根……………13分

令g(m)=m²+9tm+4,则

………………15分

综上所述……………………17分

19.解：(1)因为函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，

所以y=f(x+1)-1为奇函数，所以f(一x+1)-1=-[f(x+1)-1],

令x=0,则有2f(1)=2,故f(1)=1;令x=1,则有f(2)+f(0)=2,

所以f(0)+f(1)+f(2)=3………………………3分

(2)(i)由(1)可知g(1)=1,g(2)+g(0)=2,

因为g(0)=0,所以g(2)=2,则解得…………5分

此时g(x)=x³-3x²+3x=(x-1)⁸+1,

所以g(-x+1)-1=(一x+1-1)³=-x³,g(x+1)-1=(x+1-1)³=x³,

所以g(一x+1)-1=—[g(x+1)-1],即y=g(x+1)-1为奇函数，符合题意…………7分

所以m=-3,n=3.

因为函数g(x)的图象可由y=x³先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，

故函数g(x)在(一∞,十∞)上也是增函数………………………9分

(ji)因为函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且该函数的定义域为R,

对任意的x∈R,g(x)+g