三角形的内角第1课时三角形的内角和定理课件人教版数学八年级上册

13.3三角形的内角与外角·13.3.1三角形内角第十三章

三角形

1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）兄弟之争在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”.“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?探究新知

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？探究新知剪拼ABC（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程）探究新知三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知求证：三角形三个内角的和等于180º.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A+∠B+∠C=180º.证明：过点A作直线l，使直线l∥BC.

12∴∠B=∠1.∠C=∠2.∵∠2+∠1+∠BAC=180º.∴∠B+∠C+∠BAC=180º.作辅助线:在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.∵l∥BC.还有其他的方法吗？探究新知ABCED12如图，延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).

∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.证明：方法二探究新知CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想

同学们还有其他的方法吗？思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDEC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线概念归纳三角形内角和定理的“三个应用”1.已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.三角形的内角和定理的应用新知探究例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.典例剖析【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.例2

如图，C岛在

A岛的北偏东

50°方向，B岛在

A岛的北偏东

80°方向，C岛在

B岛的北偏西

40°方向.从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从

C岛看

A，B两岛的视角∠ACB呢？北AD北CB.E..分析：求

∠ACB，需先求

∠CAB、∠CBA.探究点：

三角形内角和定理的证明解：由题意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°

-

50°=30°.由

AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°

-∠BAD=180°-

80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-

∠ABC-∠CAB

=180°-60°-30°

=90°.答：从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是60°，从

C岛看

A，B

两岛的视角∠ACB是90°.北AD北CB.E..探究点：

三角形内角和定理的证明你还能给出其他解法吗？解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE.∠1＝∠3，∠2＝∠4，（两直线平行，内错角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代换）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°..北AD北CB.E.F1234探究点：

三角形内角和定理的证明【练一练】1.如图，在

△ABC

中，CD

平分∠ACB

交

AB

于点

D，过点

D

作

DE∥BC

交

AC

于点

E.若∠A

=

54°，∠B

=

48°，则

∠CDE

的大小为

(

)A.44°

B.40°

C.39°

D.38C∠A=54°，∠B

=48°∠ACB

=78°

∠DCB=39°∠CDE

=∠DCB=39°

分析：

DE∥BC探究点：

三角形内角和定理的证明随堂演练教材P13练习第2题2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED

的度数.CABDE随堂演练教材P13练习第2题CABDE解：在△ADE中，∠ACD+∠AED=180°–∠A

=180°–40°=140°

.在△ABC中，∠B+∠C=180°–∠A

=180°–40°=140°

.∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED

=140°+140°

=280°

.随堂演练3.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.（1）若∠A=95°，∠B=40°，则∠C=_____；（2）若∠A:∠B

:∠C=4:5:9，则∠C=_____；（3）若∠A=2∠B=6∠C，则∠B=_____.（1）∠C=180°–∠A–∠B45°（2）设∠A=4x°，则∠B=5x°，∠C=9x°∴4x+5x+9x=180解得x=1090°54°（3）设∠C=x°，则∠A=6x°，∠B=3x°∴6x+3x+x=180解得x=18情境导入这是我们常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的这两把三角尺，其两锐角的度数之和分别是多少？ABC对任意直角三角形，这个结论还成立吗？都是90°教材P14例题第3题例3

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小.ACDEB

1.（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（）A．50°B．60°

C．70°

D．80°C感受中考2.（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CA