高数上册期末考试及答案

高数上册期末考试及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.当\(x\to0\)时，与\(x\)是等价无穷小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导是\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设\(y=x^n\)，则\(y^{(n)}=\)（）A.\(n!\)B.\(0\)C.\(n^{n}\)D.\(n\)5.曲线\(y=x^3-3x\)的拐点是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.\((0,-3)\)6.\(\int\frac{1}{x^2}dx=\)（）A.\(\frac{1}{x}+C\)B.\(-\frac{1}{x}+C\)C.\(\frac{2}{x^3}+C\)D.\(-\frac{2}{x^3}+C\)7.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)8.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则\(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=\)（）A.\(f(a)\)B.\(f(x)\)C.\(f(b)\)D.\(0\)9.若函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数存在，则函数在该点（）A.连续B.可微C.有极限D.以上都不对10.极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.不存在D.\(\infty\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3+1\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导的等价条件有（）A.左导数等于右导数B.极限\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.函数在该点连续D.函数在该点有定义4.下列函数中，是同一函数的原函数的有（）A.\(F_1(x)=\lnx\)B.\(F_2(x)=\ln(2x)\)C.\(F_3(x)=\lnx+C\)D.\(F_4(x)=\lnx^2\)5.下列积分中，能用牛顿-莱布尼茨公式计算的有（）A.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{0}^{1}xdx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)D.\(\int_{0}^{2}\frac{1}{(x-1)^2}dx\)6.曲线\(y=f(x)\)在点\((x_0,y_0)\)处的切线方程为（）A.\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)B.\(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)（\(f'(x_0)\neq0\)）C.\(x-x_0=f'(y_0)(y-y_0)\)D.当\(f'(x_0)=0\)时，切线方程为\(y=y_0\)7.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的充分条件有（）A.偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)连续B.偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)存在C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续8.下列极限计算正确的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)9.函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上满足罗尔定理的条件有（）A.在\([a,b]\)上连续B.在\((a,b)\)内可导C.\(f(a)=f(b)\)D.函数\(y=f(x)\)为多项式函数10.下列说法正确的有（）A.函数的极值点一定是驻点B.驻点不一定是极值点C.函数在某点的导数为\(0\)，则该点为驻点D.函数的最值点一定是极值点三、判断题（每题2分，共20分）1.若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有界，则\(f(x)\)在\(I\)上一定有最大值和最小值。（）2.无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量。（）3.函数\(y=|x|\)在\(x=0\)处不可导。（）4.若\(f'(x_0)=0\)，则\(x_0\)一定是函数\(f(x)\)的极值点。（）5.不定积分\(\intf(x)dx\)的结果是唯一的。（）6.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值与积分变量\(x\)的选取无关。（）7.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的两个偏导数都存在，则函数在该点一定连续。（）8.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，则\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）9.函数\(y=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上是单调递减的。（）10.曲线\(y=x^3\)的凹凸性在整个定义域内不变。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的导数。-答案：先将函数化为\(y=x+\frac{1}{x}\)，根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得\(y^\prime=1-\frac{1}{x^2}\)。2.计算不定积分\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根据公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,2)\)处的偏导数。-答案：对\(x\)求偏导，把\(y\)看作常数，\(z_x=2x\)，将\((1,2)\)代入得\(z_x(1,2)=2\)；对\(y\)求偏导，把\(x\)看作常数，\(z_y=2y\)，代入得\(z_y(1,2)=4\)。4.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\)。-答案：当\(x\to0\)时，\(e^{2x}-1\)与\(2x\)是等价无穷小，所以\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的单调性与间断点。-答案：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，\(x\neq1\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递减。\(x=1\)是间断点，因为在该点函数无定义。2.试讨论定积分与不定积分的联系与区别。-答案：联系：定积分计算常通过不定积分找到原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式求值。区别：不定积分是原函数的集合，结果带常数\(C\)；定积分是一个数值，有积分上下限，与积分区间有关。3.对于二元函数\(z=f(x,y)\)，可微、偏导数存在、连续之间有怎样的关系？-答案：可微能推出偏导数存在且函数连续；偏导数存在且连续能推出可微；但偏导数存在推不出连续，连续也推不出偏导数存在，更推不出可微。4.举例说明如何利用导数判断函数的凹凸性，并阐述其几何意义。-答案：如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，\(y^{\prime\prime}=2>0\)，函数在\(R\)上是凹的。几何意义是曲线位于其每一点切线的上方。若\(y^{\prim