11681工程数学（本）-机考题库及答案

一、单项选择题（每小题3分，共151-1.设,均为n阶方阵,）A.若O，则O或OC.||A|答案：若，则I或BA1-2.设,均为n阶方阵,）A.ABABC.||A|答案：ABBAkAkA1-3.设方阵A可逆,）A.OC.|A0答案：B.线性方程组OD.矩阵1-4.设都是A.BA B.AB1B1A1C.ABB D.AB1A1B1答案：B）1-5.设,均为n阶方阵,）A.若O，则O或OB.2AB2n ABC.||A|答案：BA1-6.设,均为n阶方阵,）A.ABAB B.BAC.||A| D.kAkA

答案：C

【向量组、线性方程组的解、相容性定理】2-1.设与AB分别代表非齐次线性方程组AXB的系数矩阵和增广矩阵A.r(rAB)C.r(rAB)答案：B.r(rAB)D.r(rAB1

A 2-2.

A 方程组有非零解，则当）时，该线A.1 B.0 C.1 D.2答案：C2-3.若向量组1,2, ,A.C.答案： 1 2 B.没有一个D.2-4.2 3 x 2 3 1 3 x 1 3 相容的充分必要条件是)，其中i0，i3A．1230C．1230答案：1 2 3 0,2,3,1 2 3 0,2,3,

0 0 3 B．120D．1202-5.A．C．B．D．

答案：2-6.A．A与B．若是A的特征值，则(I)X的非零解向量必是A对应于向量

C．若是A的一个特征值，则AXO必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量

答案：D2-7.设线性方程组AXB的两个解为X1X2，（X1X2）则下列向量中一定是AX0A.X1X2C.X12X2答案：

B.2X2X1D.X1X2A 3 3-1.矩阵 A 3 A.,2 B.,4 C.,1 D.,4答案：B

的特征值为,，则A的特征值为（ ）．A 3 B.,4 C.,4 答案：A3-3.设,均为n阶方阵,则下列结论正确的是（ ）．A.若既是A，又是B的特征值，则必是ABB.若既是A，又是B的特征值，则必是的特征值

C.若既是A，又是B的特征向量，则必是ABA的特征向量的线性组合仍为A答案：3-4.设A为A.若是的一个特征值，则）A与A与2AA答案：11的特征值为0，2，1)A．0，答案：B．0，C．0，D．2，3-6.矩阵的特征多项式IA0 则的特征值为)A．1答案：B．2C3D．1，2，35A.13B.1C.1D.答案：D4-2.同时掷3枚均匀硬币，恰好有1枚正面向上的概率为（ B. B. C. D.8答案：D4-3.设袋中有32取2则2A.答案：1

4-4.若事件与A.P(ABP(P(B) B.P(B1P(C.P(P(AB)答案：D.P(ABP()P(B)4-5.3，则两次都取到白球的概率是（ ）.624292答案：4-6.设A,A．BAC．BA答案：B．BBAD．B1B4-7.设A.P(ABP()P(B)C.P(P(B答案：B.P(ABP(P(BD.P(ABP()P(|)5-1.设12, n是来自正态总体N(,)（,2 A. B.1 C.1 D.1 答案：C5-2.对单正态总体X N(,)，2已知时，关于均值的假设检验应采（ ）．A.F检验法 B.检验法

C.U检验法 D.2答案：5-3.设随机变量XA．D(2X4D(X)C．D(E()2E()答案：5-4.设X~N,2B．E(2X4E(X)D．D(XD(X)）~NA. A. 答案：DXXX5-5.设X~N(,）~NA. A. 答案：AXXX5-6.设1x,xn是来自正态总体N)的样本，则检验假设H0采用统计量U=（ ）．x5 Bx5 C5 x5 Bx5 C5 Dx11/ 5答案：二、填空题（每小题3分，共15分）【矩阵的运算、矩阵的行列式定理】1-1.设均为3ABB1 1-2.设均为n阶矩阵，则(AB)222B2是 ．

答案：1-3.设为35矩阵，为43矩阵，且乘积CB有意义，则C答案：451-4.设三阶矩阵A2A1答案：1-5.设是A1B3，则3AB答案：1 0 1 0

0 1

3 2 1-6.若3 A2A 答案：0【向量组的秩、线性方程组解向量】2-1.设线性方程组AX0中有5秩(2，则AX0答案：2-2.向量组,,,,,0,,,0答案：2-3.当答案：

3 6 x x

x 1 2-4.非齐次线性方程组AXB3A是4阵，则方程组增广矩阵r(AB答案：

x

x x2-5.当答案：时，非齐次线性方程组1 1 2-6.若A1，则3元齐次线性方程组

解向量.答案：2【随机事件、独立、互斥、对立】3-1.若P(,P(B3，且事件相互独立，则P(AB ．答案：0.583-2.若P(,P(B，且事件与互不相容，则P(AB 答案：0.73-3.设是两个随机事件，若P(,P(B3，则P(B答案：3-4.若P(,P(B，且事件相互独立，则P(AB 答案：0.73-5.若PAB9，PAB0.3，PAB，则PAB答案：3-6.若P(,P(B4，且事件与互不相容，则P(AB 答案：0.7【期望、二项分布、正态分布】4-1.设随机变量X~B(，则E(答案：4-2.设随机变量X~N(,4，则随机变量Y~N,X 4-3.答案：X1 0 1 0 0.3 0.2 E(4-4.设X~N(,)~NX

X 0.2 X 0.2 a 答案：，则X 4-6.设随机变量~ 1 X 答案：，则E( X 0.2 0.5 答案：，则PX05-1.如果参数的估计量ˆ满足Eˆ，则称ˆ为5-2.设随机变量X，若D(X1，则D(2X答案：5-3.设随机变量X，若E(X，则E(2X答案：5-4.5-5.设随机变量X，若D(X，则D(2X答案：5-6.若参数的两个无偏估计量1和2答案：DD2，则称1比2更有效

工程数学（本）主观题专题训三、计算题（每小题16分，共20题）1 21 21 21.1 3

3 1

1 X解：利用初等行变换可得

A I 1 3 0 1 0 1 1 1 0 1 1

A 1 1 2 5 3 2

3 1 1 2 5 3 2

3 1 8 1 1

1 0 3 X BA X BA （10（16

A 5 2.

A 5 解：由AXXB可得(AI)XB

A I 5 ， 1 B 3 ， 1 B 3 （3（5 3 5 1 0 15 3 5 1 0 15 25 5 A I I 5 8 0 1 15 24 0 15 25 5 0 15 0 120 75 1 0 15 25 5 0 15 0 120 75 1 0 8 5

0 1 5 3 0 1 5 3 0 1 5

A I

A I 5 （13分） ( )1 8 5 1 2 7 ( )1 8 5 1 2 7 X A I B 5 3 3 4 4 ． ．0 1 2 0 1 2 1 （163.A 1 1 4A 1 1 43 5 3 5 2 1 2 1 ，解矩阵方程AXBA 解：因为 A 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 1 1 4 1 0 2 1 1 0 1 0 0 5 3 0 0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 A得 A5 3 27 5 3 27 4 23 2 （10 所以X1 3 2 3 6 7 13． （164.1 2 1 2 1 1

1 3 1

1 1

0 1

1 1

0 ，B，求X 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 A 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 A 1 2 0 5 2 2 1 0 0 5 4 2

0 1 0 5 3 2 0 1 0 5 3 2

0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 15 4 15 3 5 4 15 3 2 1 1A因此，A （10

5 4 2 1 2 1

5 3 2 5 4 2 1 2 1

5 3 2 1 1 2 52 1 1 0 4 1 X A X A （16

， 1

， 1 A 5 解：用伴随矩阵法求A3 1 A5 8 ，说明A可逆3 1

A 5 B 3 B 3 （3（8 5 3 5 于是， 1 1 2 8 5 2 X BA 于是， 1 1 2 8 5 2 X BA 3 4 5 3 4 （10（16【线性1.当 x x xx x xx x x 1 2 1 2 1 2 1 2 有解？在有解的情况下求方程组的通解. A 2 5 1 0 3 3 2 0 0 0 由阶梯矩阵可知：当5时，方程组有解（7

x

x x2 （其中3（10

令x3，得方程组的一个特解X0 1 0（12不计最后一列，令31X12 1 于是，方程组的通解为X0X（其中k为任意常数）（14（162.当 x x xx x x x 1 2 1 2 1 2 3 7 1 2 有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形 A 4 5 A 故当7时，方程组有非零解（7

x 3

x x2 （其中3（10令31，方程组的一个基础解系X13 1 于是，方程组的通解为kX（其中k为任意常数）（13（163.1 x23x3x4 x x x x x x1 2 3 1 3 4 1 3 的通解解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形

2 1 1 4 0 1 7 6 0 1 7 1 0 4 5 0 1 7 6 0 0 0 1 0 4 1 0 4 0 1 7 0 0 0

x x x x 4

7 2 3 （其中x3x4是自由未知量）（7令340X1 4 7 1 X1 4 7 1 令341X2 5 6 0 X2 5 6 0 于是，X1X2即为方程组的一个基础解系方程组的通解为1X1kX2（其中1,k为任意常数）（10（13（16 2x2x3xx12x24x31 2 33x1 8x2 2x3 4x1x29x3的通解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

2 3 1 4 0 7 7 14 0 1 1 2 0 1 1 3 8 2 13 0 14 14 28 0 0 0 0 0 0 0 4 1 9 6 0 7 7 14 0 x

x x2 2 （其中x3为自由元）……（7令x3，得到方程组的一个特解为X01 2 0……（10不计最后一列，令31X12 1于是，方程组的通解为XX0X（其中k为任意常数）……（13……（16为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解

1x23x3x12x2x32x13x24x3解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1 2 1 2 0 1 2 3 0 1 2 当10，即1. 7此时，由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为：153x223中x310令x3解X04 3 0不计最后一列，令31X15 2 为XX0X（其中k【正态12……（14161.设X ,41）PX9；（2）PX7.（已知1322，7）P X P P X P P

X 1 2 2 2 20.15748（2） 7 3 7 3 3 X X 2 1 2 2 2 2PX P （2） 7 3 7 3 3 X X 2 1 2 2 2 21210.0228 16

2.设X~N,2(1)P(X；(2)求常数，使得P(X1a知,(,）．PX P PX P P X 解：( 3) ( ) ( 1) (1) 2 2 2……（8PX PX aP XaP a X ( 1 ) (1 1 ) ( 2 2 aaaaaa a a……（12因此，() 0.9987 2，故 ，从而6……（163.设X~N,2)，试求：P(X；P(X)（已知,(,）PX P PX P P X 解：( 5) ( ) ( 2 2 3PX PPX PX P P X ……（8( 9)=1 ( 9) 1 ( ) 1 ( 2 2 113……（164.X ,2，试求：（1PX5；（2PX.（已13，22，7）

PX P PX P P

X 2 3 3 3 32123125

……（8PX P PX P P X 3 3 3 ……（16分5.设随机变量X~N(,1）求P(X42）若P(Xk，求k值．（已知(2）．1）P(X4＝1－P(X42)=1－P(X)＝1－（(()=2（1－(）＝0.0056（2）P(XkP(X4)＝1－P(X4)＝1－((1(1.5)……（8即k－4=-1.5，k＝2.5……（166.设X~N(,2，试求：P(X)；P(X,(,）P X P P X P P X 解：(22 26) ( ) (1 2 2 2 74PX PPX PX P P X （8( )=1 ( 24) 1 ( ) 1 ( 2 2 1(18（16分

【统计1.设某一批零件重量X服从正态分布N(,6)取个测得平均重量为为的置信区间（已知u解：由于已知2U x ~N,n零件重量总体均值的置信度为 6）（5[x 0.975 n[x 0.975 n, x 0.975 由已知，x5,，u60.6

50.6

51.96 x 0.6

5 1.96 0.6

5 1.96 x 10因此，零件重量总体均值的置信度为0.95的置信区间为[]．（16分）2.了16工作，结果发现他们所需的平均时间为15为3分钟.假设完成这项工作信度为0.95的置信区间（已知u6）解：由于已知U x ~N,n完成此项工作所需平均时间的置信度为 （5[x 0.975 n[x 0.975 n, x 0.975 由已知，x5,6，u610

1.96 1.96 x 15 1.96 x 15 1.96 x ， 因此，完成此项工作所需平均时间的置信度为的置信区间为]. （16分）3.布.今从一批产品里随机取出测得直径平均值为1mm，若已知这批滚珠直径的方差为62，试找出滚珠直径均值的置信度为5的置信区间（u解：由于已知2 ~ ,U 6）（5分滚珠直径均值的置信度为5x u0.975 nx u0.975 x u0.975 nx u0.975 由已知，x1，，，u60.06

0.06

1.96 x 0.06

0.06

1.96 x ，的置信度为5的置信区间为,（10（164.某校全年级的英语成绩服从正态分布N,0)班16成绩，得平均分为x80.假设标准差没有改变，在显著水平5班的英语平均成绩为85分（已知u解：零假设H0;1856）由于标准差没有改变，故已知U x ~N,0（5由已知，x0,0,06，u6

80 80 10 （10 U x 2 u nU x 2 u n在显著水平5下， 0 ，因此拒绝零假设H0，即不认为该班的英语平均成绩为85分． （16分）5.据资料分析，某厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N.今从该厂最近生产的一批砖中随机地抽取了kg／cm2为8.在5（u解：零假设H05；H156由于标准差没有改变，故已知010 0 ~ ,U （5由已知，x8，5，1，31.18 31.18 / 1.1/ / 1.1/ （10在5的显著性水平下， 3.6 设H03.6 度不合格. 四、证明题（本题6分）【对称矩阵】1.阵，试证A是对称矩阵．证明：由已知条件和对称矩阵的性质(A(A 所以A是对称矩阵.

【可逆矩阵】2.设阶方阵满足2AI，试证矩阵

证明：由2AI(AI(AI)I 所以矩阵可逆，其逆为AI. （6【对称矩阵】3.设是同阶对称矩阵，试证：BA也是对称矩阵.(B((ABA所以BA是对称矩阵. （6分）4.设为足I，A1IA0证明：因为

IAA(I)AIAIAIAIA0. ……（6【相互独立事件】5.设随机事件与相互独立，试证与也相互独立．

证明：因为P(BP()P(P()P()P(BP(1P(BP()P(B)所以，与相互独立． （66.若A是阶方阵，且AIA1或1．

工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设,均为阶方阵,则下列命题中正确的是（ ）.A.若O，则O或BO B.2AB2ABC.||A|D

A 零解，则当）时，该线性方程A.1 B.0 C.1 D.2

A 3 的特征值为（ ）．A.,2 B.,4 C.,1 D.,44.若事件A与互斥，则下列等式中正确的是（ ）．A.P(ABP()P(B) B.P(B1P()C.P(AP(AB) D.P(ABP(P(B)5.对单正态总体X~N(,)，2已知时，关于均值的假设检验应采用（ A.U检验法 B.检验法C.F检验法 D.2检验法二、填空题（每小题3分，共15分）1.设三阶矩阵AA2A1= ．

x

x x2.当 时，非齐次线性方程组1 1 3.若P(P(B0.4，且事件A与互不相容，则P(AB 4.设随机变量X~N(,4)，则随机变量Y ~N(0,．5.如果参数的估计量满足Eˆ，则称为的 ．三、计算题（每小题16分，共64分）

A 5 1.

A 5 1 2 x x xx x x x xx x x x x x 1 2 ， 1 B 3 ， 1 B 3 2. 1 2 1 2 4 1 2 的通解3.设X~N(,2)，试求：P(X26)；P(X．（已知,(,）4.某校全年级学生的期末考试成绩服从正态分布N,10)班为x80.平5问能否认为该班的英语平均成绩为85分（已知四、证明题（本题66）设是同阶对称矩阵，试证：ABBA也是对称矩阵

工程数学（本）模拟试试题答案及评分标准（供参考）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.C 2.C 3.B 4.D 5.A二、填空题（每小题3分，共15分）1.4 2.-1 3.0.7 三、计算题（每小题16分，共64

1.解：由XB可得

X5.（3A I 5 A I 5 3