2026届高三数学二轮复习课件：专题5 解析几何 培优拓展10 抛物线中的阿基米德三角形

培优拓展(十)抛物线中的阿基米德三角形类型一阿基米德三角形的性质类型二阿基米德三角形中的定点问题目录索引阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容,也是高考常考内容之一.常在各类题型中出现,难度为中高档,重点考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.阿基米德三角形1.定义:如图所示,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作抛物线的切线交于点P,称△PAB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.2.常用性质:(1)阿基米德三角形底边上的中线MQ(M为AB中点)平行(或重合)于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线.(3)抛物线以C点为中点的弦平行于点Q的轨迹.

类型一阿基米德三角形的性质例1

(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

例2

(2025河南安阳一模)设M,N是抛物线C:x2=8y上异于顶点的两点,过点M,N分别作C的切线,两条切线相交于点P.(1)若|PM|=|PN|,且∠MPN=90°,求直线MN的方程;(2)设A,B分别为直线PM,PN与x轴的交点,证明:△PAB的外接圆过定点.

【对点训练1】(多选题)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,在两点处的切线相交于点Q,则下列说法中正确的是(

)A.当阿基米德三角形的顶角为直角时,阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆B.若M为弦AB的中点,则MQ与x轴平行(或重合)C.若弦AB过抛物线的焦点,则点Q在抛物线的准线上D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点,M为弦AB的中点,则该三角形的面积最小值为2pABC

类型二阿基米德三角形中的定点问题例3

已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB,D为垂足,O为坐标原点,点D的坐标为(1,1).(1)求C的方程;(2)若点E是直线y=x-4上的动点,过点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中P,Q为切点,试证明直线PQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.

ACD

(2)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A,B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”,当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以下性质:①P点必在抛物线的准线上;②PA⊥PB;③PF⊥AB.已知直线l:y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的顶点P的坐标为

.

(-1,2)或(-1,-2)

所以yP=-(xP-1)=-(-1-1)=2,所以P(-1,2).当k=-1时,因为PF⊥AB,所以kPF=1,所以直线PF的方程为y=x-1.由题知,点P必在抛物线的准线x=-1上,所以xP=-