河南省信阳市罗山县2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市罗山县2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.某学校有四位教师，，，，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师被分配到班级4的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若每位教师不能继续任教原班级，依据教师情况去分配班级情况，不改变教师的顺序，则有如下情况，，，共9种情况，符合条件的有3种，设教师被分配到班级4的概率为，由古典概型公式可得，故B正确故选：B.3.若方程表示圆，则的取值范围是（）A. B. C. D.R【答案】D【解析】因为该方程表示圆，所以，所以.故选：D.4.下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误；对于B：因为，所以、、，所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确；对于C：令、、，满足，但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误；对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误；故选：B.5已知直线，，若，则（）A.1 B. C.2 D.1或【答案】B【解析】由题意得，，因为，所以，解得.故选：B.6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，两人各射击一次．甲、乙两人射击互不影响，则恰有1人中靶的概率为（）A.0.72 B.0.26 C.0.18 D.0.98【答案】B【解析】记甲中靶事件A，乙中靶为事件B，则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况，则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率如下，为.故选：B.7.直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（）A.1 B.5 C.或5 D.1或【答案】D【解析】如图，作出符合题意的图形，由题意得圆的圆心，半径，由，得圆心到直线的距离为，则，即，解得或，故D正确.故选：D8.已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】设，因为，所以，所以四点共面，当平面时，有最小值．可得，，设平面的一个法向量，则，取，则，所以为平面的一个法向量，所以到平面的距离，故A正确.故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某商场举办抽奖转盘活动，转盘被均匀划分为6个扇形区域，分别标有数字1至6，参与者转动转盘一次，记录指针所指的数字．定义事件“数字为3”，事件“数字为偶数”，事件“数字小于4”，事件“数字大于3”，则（）A.与互斥 B.与对立 C.与独立 D.与对立【答案】AD【解析】由题意得，，，，，则，，，，，对于A，由题意得中无公共元素，则与互斥，故A正确，对于B，而，则与不对立，故B错误，对于C，而，则与不独立，故C错误，对于D，而，，且中无公共元素，则与对立，故D正确.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.若两条直线与互相垂直，则实数的值为B.若点在第二象限，则直线不经过第三象限C.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D.已知直线和以，为端点的线段相交，则或【答案】ABD【解析】对于A，若两条直线与互相垂直，则，解得或，可得实数a的值为，故A正确；对于B，若点在第二象限，则，由一次函数性质得直线不经过第三象限，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误；对于D，将直线化为，所以直线恒过定点，且直线的斜率为，其中，，如图，作出符合题意的图象，结合图象，若直线与线段相交，可得或，故D正确．故选：ABD.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（）A.圆的方程是B.圆与圆有四条公切线C.的最小值为D.过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为【答案】ACD【解析】对于A，设，由，可得，即，化简可得，故A正确；对于B，圆圆心到圆圆心的距离为，又因为且，故两圆相交，有两条公切线，故B错误；对于C，由选项A可知：圆的圆心为，半径，设，可知直线与圆有公共点，则，解得，所以的取值范围为，即的最小值为，故C正确；对于D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为_____．【答案】或【解析】由题意得直线，即，由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为.故答案为：.13.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则_____．【答案】【解析】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于，，又，，，，，，则，所以，，，故答案为：.14.已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】圆，即，圆心为，半径圆，即，圆心为，半径，设点关于直线对称的点为，则，解得：，圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，设圆上的点与圆上点对称，则有，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，如图所示：连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，此时，即的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程．解：（1）由于，且的直线方程为，所以，故，又的顶点，所以所在的直线方程为，即，由于边上的中线所在的直线方程为，联立方程，解得，故点；（2）设点，则的中点，由于点在直线上，所以，整理得，同时点在直线上，所以，故，解得，即点，所以，可得，化简得，故直线的方程为.16.已知圆．（1）过点向圆作切线，求切线的方程；（2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值．解：（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线，若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，所以切线l的方程为，综上，切线l的方程为或．（2）如图，作出符合题意的图形，且，由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离，由切线的性质得，则，则当最小时，有最小值．当时，最小，最小值为，故的最小值为．17.如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，使得平面平面．如图2．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，连接，作出符合题意的图形，因为，所以，可得为正方形，所以，所以，又，平面，所以平面，又，且，故四边形为平行四边形，所以，所以平面.（2）解：由题意得，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意知，，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面的夹角为，得到.18.已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程，并说明其形状；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值；（3）过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标．（1）解：设，由，得，化简得，即，故曲线是以为圆心，为半径的圆．（2）解：设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得，故点在圆的内部．设圆心到直线的距离为，所以．又，所以，所以，当且仅当时取得最小值，故的最小值为．（3）证明：如图，由题意知，与圆相切，为切点，则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上，因为，，所以的中点为，，以线段为直径的圆的方程为，整理得，，①又在曲线：②上，②①，得，所以直线的方程为．当时，，则直线恒过定点．19.某国际学校举办国际象棋锦标赛，甲、乙、丙三名选手通过预选赛，进入决赛阶段．已知甲与乙对局时，甲获胜的概率为，甲与丙对局时，甲获胜的概率为．乙与丙对局时，乙获胜的概率为．决赛规则如下：首先通过抽签决定由甲与乙进行第一轮对决，丙轮空；每一轮结束后，该轮的胜者与轮空者进行下一轮对决，败者轮空．每轮胜者得1分，败者得0分，率先累计获得2分者成为冠军，比赛结束．（1）假设，且各轮比赛结果相互独立．①求乙连续赢下两轮并获得最终冠军的概率；②求比赛结束时乙获得冠军的概率．（2）若，且乙在第一轮出场，并有权选择首轮对手．为最大化夺冠概率，乙应如何选择首轮对手？请进行分析．解：（1）①依题意乙连续赢下两轮并获得最终冠军的概率.②乙连续赢下两轮获得最终冠军的概率为，乙第一轮失败，第二轮轮空（第二轮甲失败），第三轮胜利，第四轮胜利的概率为，乙第一轮胜利，第二轮失败，第三轮轮空（第三轮甲胜利），第四轮胜利的概率为，所以比赛结束时乙获