河南省南阳地区2025-2026学年高一上学期10月阶段考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳地区2025-2026学年高一上学期10月阶段考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应，由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数，对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确．故选：D.2.已知命题：一组对角相等的四边形是平行四边形，则（）A.是假命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形B.是真命题，的否定为：一组对角相等的四边形不是平行四边形C.是假命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形D.是真命题，的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形【答案】C【解析】一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题．的否定为：存在一个一组对角相等的四边形不是平行四边形．故选：C.3.已知全集，的子集，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，得且且．由，得或，则（舍）或（舍）或．综上，，，．故选：A.4.已知函数的定义域为则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于函数的定义域为所以，则,所以的定义域满足,解得：,所以的定义域为：；故选：B.5.如图，这是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，设：灯泡L亮，：开关和有且只有一个闭合，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为由“灯泡L亮”推不出“开关和有且只有一个闭合”，也就是说和可以两个都闭合，反过来，由“开关和有且只有一个闭合”可以推出“灯泡L亮”，所以是的必要不充分条件．故选：B．6.某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得．故选：C.7.函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，所以的值域等价于的值域，当时，所以函数的最小值为，此时.故选：D.8.关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（）A. B.或C.或 D.或【答案】B【解析】当时，方程只有一个根，显然不符合题意；当时，则，解得；当时，则，解得，故或．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对选项A，若，则，不满足，故A错误.对选项B，若，则，故B正确.对选项C，因为，所以，，所以，所以，故C正确.对选项D，因为，由B知：，所以，故D正确.故选：BCD.10.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（）A. B. C. D.0【答案】BCD【解析】当时，不等式为，显然成立；当时，则，解得.综上所述，．故选：BCD.11.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A.在上先减后增B.当时，C.在上的值域为D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】因为，所以与的单调性相反．由题意得在上先减后增，则在上先增后减，A错误．由，得，，得，．当时，，则，B正确．易得在上的值域为，则在上的值域为．由，得，，所以在上的值域为，C正确．易得在上的值域为，在上的值域为，在上的值域为，，当时，，当时，，当时，，所以．由，得或，所以不等式的解集为，D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合的子集个数为______．【答案】【解析】由不等式，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，不等式所围成的区域，如图所示的正方形，又因为，所以集合表示正方形内的整点，即集合，可得中元素的个数为5，所以的子集个数为．故答案为：.13.已知函数满足，则______．【答案】【解析】由①，得②．②①得，得．故答案为：.14.已知正数满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】因为，所以，所以，则，从而．又，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围；（2）若，，求的取值范围．解：（1）由题意得，得得两式相加得，即的取值范围为．（2）由题意得，且．当时，，得．当时，得．综上，的取值范围为．16.已知，，．（1）求的最小值；（2）求的最大值与的最大值．解：（1）因为，，且，所以，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，得到，即的最小值为．（2）因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，可得的最大值为4，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4．17.已知函数（1）若，求；（2）若对任意的，当时，总有，求的取值范围；（3）若在上的值域为，求的取值范围．解：（1）由题意得，，由得，解得．（2）由题意得在上单调递增，可知当时，单调递增，得．的图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，则．因为在上单调递增，所以，得．综上，的取值范围为．（3）因为图象开口向下，则函数在有最大值；要使在上的值域为，则需：单调递增，值域为，所以．当时，在上的最大值为，则，得或，不符合题意．当时，在上的最大值为，则，得．综上，的取值范围为．18.已知函数的定义域为，且，当时，．（1）求，的值．（2）证明：．（3）判断在上的单调性，并给出证明．（4）求不等式的解集．解：（1）令，，得．由题意得，所以，得．令，得，得．（2）由（1）得．当时，，，得．又，当时，，所以．（3）在上单调递减．证明如下，任取，且，令，，则，得．因为，所以，得．由（2）可知，由，得，所以在上单调递减．（4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减．由，得．由，得，则等价于，所以，得．故不等式的解集为．19.对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合，互为不交双等集．（1）分别判断集合与和集合与是否互为不交双等集，请说明理由．（2）若集合与集合互为不交双等集，求的值．（3）证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集，互为不交双等集．解：（1）因为，，所以集合，不满足条件②，则集合，不互为不交双等集．因为，，，，且，所以集合，互为不交双等集．（2）由不交双等集的定义可得，解得或，则或．（3）引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对．引理1证明：必有，，，，，，对于任意的正整数,为元不交双等集对，显然存在足够大得正整数,使得，满足,所以，，，,则互为元不交双等集．引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对.引理2证明：当时由引理1中得构造方法可知存在元不交双等集对，再对此元不交双等集对和元不交双等集对重复使用引理1可构造元不交双等集对.再对此元不交双等集对和元子集对，使用引理1，可构造元不交双等子集对.现在来证明对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．证明：由（1）（2）可知和互为4元不