湖南省A佳教育联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省A佳教育联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合为不小于1的正整数，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故选：D.2.若复数满足，则（）A.i B.1 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，解得.故选：A．3.已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，所以，所以倾斜角的取值范围为.故选：B．4.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由空间向量得，两边平方得，整理得，所以，则，故异面直线与所成角为．故选：C.6.与圆及圆都内切的圆的圆心在（）A.双曲线上 B.直线上 C.圆上 D.椭圆上【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为．，圆心，半径为．设所求圆的圆心为，半径为，则，，，所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆．故选：D．7.双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，直线的斜率为2，故⊥，则，故，又，所以，，由勾股定理得，所以．又内切圆半径，由三角形等面积法可得，解得，故，，故双曲线的方程为.故选：A．8.已知点集分别表示曲线，则的公共点的个数为（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】曲线，曲线是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，理由如下：当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分；当，时，曲线方程可化为，即，无解；当，时，曲线方程可化为，为圆的一部分，半径为；当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分.曲线，曲线是由四条线段构成的图象，理由如下：当，时，曲线方程可化为；当，时，曲线方程可化为；当，时，曲线方程可化为；当，时，曲线方程可化为.如图：同一坐标系内画出，因为点到直线的距离为：，所以（，）与线段（，）相切，有1个公共点.故在第一、三、四象限各1个交点，共3个交点．故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.已知，下列说法正确的是（）A. B.C. D.平面ABC的一个法向量是【答案】BCD【解析】对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，，所以，于是有，故C正确；对于D，因为，，，，所以是平面的一个法向量，故D正确，故选：BCD．10.函数，则下列结论正确的为（）A.函数的单调增区间为B.函数的图象关于对称C.函数的图象关于对称D.若，则函数的值域为【答案】AC【解析】选项A：由，，可得，，即函数的单调增区间为，故A正确；选项B：，则函数的图象关于直线对称，关于不对称，故B错误，故C正确；选项D：由，可得，则，则．即若，则函数的值域为，故D错误．故选：AC．11.如图，在棱长为1的正方体中，在线段上，且，动点满足：，下列说法正确的是（）A.直线与平面所成角的余弦值的最大值为B.存在，使四点共面C.存在，使D.的最小值为【答案】BCD【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系：选项，则，所以，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，，因为，所以，所以，故选项A错误；选项B，若四点共面，则存在实数，使，即，所以，解得，所以当时，四点共面，故选项B正确；选项C，因为，若，则，解得，故C选项正确；选项D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故选项正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点，垂直于轴的直线方程为______．【答案】【解析】因过点，垂直于轴直线的斜率为0.所以过点，垂直于轴的直线方程为,即．如图：故答案为：．13.若直线与圆只有一个公共点，则______．【答案】或【解析】由圆，得，圆心为，半径为，因为直线与圆只有一个公共点，所以到直线的距离等于，即，解得或．故答案为：或．14.已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】如图：设，，则.由，所以.又，，所以.又，所以．设，由，得．又三点共线，故．代入，得，故．离心率.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为．（1）求的方程；（2）以为直径圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积．解：（1）因为，由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线，所以，故的方程为．（2）由题意得，的渐近线方程为，以为直径，则为直角，且，从而得到点到轴的距离为，所以四边形的面积．16.已知的内角A，B，C的对边分别为，．（1）求角；（2）若，求边上的高．解：（1）由，得．．，．又，，，．（2），，．由，解得．设边上的高为，，.17.如图，在四边形中，，且与间的距离为6，O为的中点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求等腰梯形的外接圆的方程；（2）已知直线：，过直线上的动点作圆的两条切线交圆于M，N，求当四边形的面积取得最小值时，直线的方程．解：（1）由已知可得圆心在轴上，设圆心，半径为，则圆的方程为．由，，代入圆的方程得，解得．故圆的方程为．（2）四边形的面积．要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小．过圆心作直线的垂线，垂线的方程为．联立，解得．则四边形的面积最小时，．因为四点共圆，直径为，其方程为．联立，得直线的方程为．故所求的直线的方程为．18.如图，在正四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，是棱PA的中点．（1）证明：平面BDE；（2）设该四棱锥外接球的体积为，当取最小值时，求：（i）四棱锥的体积；（ii）平面BDE与平面PCD夹角的余弦值．（1）证明：连接交于点，连接．因为底面是正方形，所以为的中点．又因为是棱的中点，所以．又面，面，所以平面．（2）（i）解：连接，设，四棱锥外接球的半径为．因为是正四棱锥，所以球心在直线上．所以．所以，当且仅当时取“”．此时，．（ii）解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系．由（i）可知，所以，所以，，所以面，所以面的法向量可以是．又因为，，所以，．设平面的法向量为，则且．由，，，得，．所以，即，令，得，．设平面与平面的夹角为，所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．19.已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于A，B两点．（i）若，记线段AB的中点为，求的坐标；（ii）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值．解：（1）由，得．由离心率，得．则．所以椭圆的标准方程为．（2）（ⅰ）由（1）得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定