湖南省湘潭地区2026届高三上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘潭地区2026届高三上学期10月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：直接法.因为，故，故选：B.方法二：（最优解）代入排除法.代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.2.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故选：C.3.已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A.6 B.8 C.10 D.14【答案】B【解析】由，且与的夹角为，所以.故选：B.4.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.5.若函数是奇函数，则=（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】因为函数是奇函数，所以，即，得..故选：B.6.在中，是边上一点，且，是的中点，记，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故选：D．7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）A.27种 B.36种 C.54种 D.72种【答案】C【解析】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故选：C.8.设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，令，故，，所以，故①，由，令，则，由，则，所以，整理得，由，则，所以，整理得，所以，整理得②，联立①②，得，，故，即，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（）A.四点共面 B.与异面C. D.RS与所成角为【答案】AC【解析】以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则，因为分别为棱、的中点，所以，对于A，因为，所以，所以，所以四点共面，正确；对于B，因为，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，错误；对于C，因为，所以，所以，即，正确；对于D，因为，所以，，所以，设RS与所成角为，，则，所以，即与所成角为，错误.故选：AC.10.设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（）A.若A，B互斥，则B.若，则A，B相互独立C.若A，B互斥，则A，B相互独立D.与相等【答案】ABD【解析】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确；对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；对于D：，，所以与相等，故D正确.故选：ABD.11.已知是抛物线上一点.按如下方式依次构造点（）；过点作斜率为（）的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点.令.（）A.若，则B.数列是等差数列C.数列是等比数列D.设是的面积，则【答案】BD【解析】对于A选项，设，点为关于轴的对称点，则，又点，点在抛物线上，所以，，两式相减，得，化简得，又过点的直线斜率，且，所以，解得.故A错误；对于B、C选项，因为关于轴的对称点为，直线的斜率为，所以，且，化简整理，得，又，都在上，两式相减，得，即，所以，所以是首项为2，公差为的等差数列，故B正确，C不正确；对于D选项，若，即，而与有一条公共边，所以需考虑，到边的距离，而，同理，，由于是等差数列，所以，从而有，则，所以.故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.【答案】【解析】因为展开式的通项公式为，所以.故答案为：.13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____________．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴，整理得：,∵切线有两条，∴，解得或,∴的取值范围是,故答案为：14.已知直线是曲线与的公切线，则________.【答案】【解析】设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即同理，设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即，所以，解得，所以，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求角A；（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．解：（1）由正弦定理可得：，∵，∴，，即，∵，∴，．（2）令，，则．又，四边形为菱形，为的角平分线．，，，即，由余弦定理可得：，即：，解得：，∴．16.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线的倾斜角为45°，求.解：（1）由抛物线的性质，，故抛物线.（2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为，设，联立，,故.17.根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号．月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月月份代号12345利润/万元86.35.13.22.4（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由；（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．参考：，，.解：（1）由题意可得，，，，，所以，，因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系，，则，所以，关于的经验回归方程为，将代入经验回归方程为，故估计年月该网点利润估计知为万元.（2）设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元，则的可能取值有、、、，则，，，，故，设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、，，，，故.因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠.18.已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．（1）求的方程；（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点.①求动点的轨迹方程；②求线段的长度的取值范围．解：（1）由题可知，，解得，，又，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，设，则的中点为，①当时，的垂直平分线方程为，此时，则或；即或当时，的垂直平分线方程为：，由，消得，，整理得，因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，则，即，整理得，即，因为，所以，而，也满足该式，故点的方程为，即．②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，又易知点在圆内，则，又由椭圆的性质知，，得到，故所求线段MQ长度的取值范围是19.已知函数.（1）若恒成立，求实数a的取值集合；（2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；（3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知（1）解：函数，恒成立，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，