高考数学三轮冲刺重难点练习题型08 概率与统计（原卷版）

预测08概率与统计1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.3、古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．一、排列组合：1.排列与排列数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．(2)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．2.组合与组合数(1)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．(2)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)．(3)组合数的性质：性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)．性质3：mCeq\o\al(m,n)＝n·Ceq\o\al(m－1,n－1)．二、二项式定理1、二项式定理的展开式公式：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．2、二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．三、离散型随机变量的概率分布及其性质1、超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(r,M)Ceq\o\al(n－r,N－M),Ceq\o\al(n,N))，r＝0，1，2，…，m，称分布列为超几何分布．X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)MCeq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)MCeq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))2、二项分布X～B(n，p)，记为Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＝B(k；n，p)．X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0（1）均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．（2）两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝eq\f(nM,N)．3、正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)μ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(3)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．四、统计案例1.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定参数，(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．2.独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．常用结论(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点(x－，y－)．(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．一．选择题1．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种3．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13 B．25 C．234．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立5．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等二．多选题6．下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有（）A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数7．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同三．解答题8．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8289．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．10．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．一．选择题1．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为（）A．8 B．12 C．16 D．242．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（）A．125 B．135 C．165 D．1703．中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓．某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》．经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读．那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（）A．164 B．2932 C．9164．现有A，B，C，D，E五名志愿者分配到甲，乙，丙三个不同社区参加志愿者活动，每个社区至少安排一人，则A和B分配到同一社区的概率为（）A．320 B．625 C．3255．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为A．112 B．12 C．236．为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为16，13，A．1172 B．524 C．7247．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符“（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（）A．29 B．127 C．198．江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态分布N（100，σ2），已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（）P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.99．A．20 B．25 C．30 D．40二．多选题9．如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比=本期数−去年同期数去年同期数×则下列说法正确的是（）A．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5% B．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为0.9% C．这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低 D．2021年比2020年全国居民消费平均价格增长大于1.0%（多选）10．下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=2B．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为（2，3），则回归直线的方程为ŷ=0.25xC．设ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(−1＜ξ＜0)=1D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种 C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种 D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种12．若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（）A．a0＝0 B．a3＝10 C．a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1 D．a1+a3+a5＝﹣16三．填空题13．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为．14．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有种．15．（x+1x）（2x﹣1）7的展开式中x的系数为16．在（3x−2x）n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式常数项等于四．解答题17．某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试．笔试分为三个环节，每个环节都必须参与．应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为3（1）求应聘者甲未能参与面试的概率；（2）记应聘者甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；18．从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为110（1）求a，b的值；（2）若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有13现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，4人中有资格（仅考虑视力）考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念．而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇．为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务．某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略．在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率．今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为ξ，求概率P（ξ≤2）；（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为η，求η的分布列和数学期望．20．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴