番职院玩具制图课件02点、直线、平面的投影-5直线与平面、平面间的相对位置

§2--5直线与平面、平面与平面

之间的相对位置直线与平面平行平面与平面平行直线与平面相交平面与平面相交1、直线与平面平行定理：直线平行于平面上的某一条直线。即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。O例1、过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'无数解例2、过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcmm'a'b'c'∵△ABC为正垂面，∴直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵MN为正平线，∴mn平行于OX轴。n'n有唯一解有多少解？

当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。2、平面与平面平行几何条件：1）、若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'ⅠⅡⅢ2）、若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。O例3、过点K作平面平行于△ABC解：••a'ab'bc'ck'k分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'例4、判别如图所示的两平面是否平行。解：1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。3、直线与平面相交

交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。1）、一般位置直线与特殊位置平面相交例1、求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。a'ab'bd'de'ef'fkk'1'1(2')2例2、求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。aa'bb'k'•k由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交

例3、求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。•aa'bb'cc'd'e'(e)d(k)借助于辅助线的方法求出交点。nn'•判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k'可见，k'e'被遮住部分不可见。k'1'(2')12例4、求直线MN与平面△ABC的交点。aa'bb'cc'n'•m(m')nk'd'dk•作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求出d，连cd交mn于k。k为所求。判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H面的重影点，求出1'、2'；因1'的Z坐标大，所以kn可见。11'(2)2'4、平面与平面相交

两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A、求两平面的交线（方法）

1）、确定两平面的两个共有点；

2）、确定一个共有点及交线的方向。

B、判别可见性。只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。分析：∵△ABC与△DEF交线的正面投影为m'n'△DEF的DE、EF的正面投影d'f'、e'f'与△ABC的正面投影的交点，由m'n'求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。判别可见性：∵V面m'n'f'在△a'b'c'的上方，∴mnf

可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见。m'mn'naa'bb'cc'dd'ee'ff'例5、平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相交，求交线并判别可见性。例6、求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'kl分析：∵△DEF是铅垂面，∴其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k'、l'，交线是可见与不可见的分界线。k'l'小结掌握：

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1、平面投影特性，尤其是特殊位置平面的