安徽考研数学试卷

安徽考研数学试卷

一、选择题

1.下列函数中，在x=0处连续的是()

A.f(x)=|x|B.f(x)=xA2

C.f(x)=xA3D.f(x)=1/x

2.若函数f(x)在x=0处的导数为2,则f(0)等于()

A.2B.0C.1D.-2

3.已知函数f(x)在x=0处的导数为0,则f(0)等于()

A.0B,不存在C.1D.-1

4.若函数f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)>f(b),则f(x)在区间［a,b］上的图像

()

A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增

5.已知函数f(x)在x=0处的二阶导数为2,则『(0)等于()

A.2B.0C.1D.-2

6.若函数f(x)在x=0处的导数不存在，则f(x)在x=0处的图像()

A.有一个尖点B.有一个拐点C.有一个极值点D.无特

殊点

7.若函数f(x)在区间［a,b］上连续,且f(a)<f(b),则f(x)在区间［a,b］上的图像

()

A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增

8.已知函数f(x)在x=0处的三阶导数为3,则f”⑼等于()

A.3B,0C,1D,-3

9.若函数f(x)在x=0处的导数为0,则f(x)在x=0处的图像()

A.有一个尖点B.有一个拐点C.有一个极值点D.无特

殊点

10.已知函数f(x)在x=0处的二阶导数为2,则f'(x)等于()

A.2B.0C.1D.-2

二、判断题

1.在实数范围内，任意两个无理数之和一定是有理数。()

2.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处必连续。()

3.函数f(x)在x=a处取得极大值，则f(a)=0o()

4.若函数f(x)在x=a处的导数不存在，则f(x)在x=a处的图像一定是尖点。

()

5.函数f(x)在x=a处的二阶导数大于0,则f(x)在x=a处是凹函数。()

三、填空题

1.若函数f(x)在x=0处的导数为0,则f(x)在x=0处的极限为o

2.函数f(x)=xA3在x=0处的切线方程是o

3.若函数f(x)在x=a处取得局部极大值，则f'(a)。

4.若函数f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)>f(b)，则函数在区间⑶b］上的图像

具有性质。

5.函数f(x)=eAx的积分表达式为o

四、简答题

1.简述函数极限的定义，并举例说明如何判断一个函数在某一点处是否有极

限。

2.解释导数的几何意义，并说明如何通过导数判断函数的增减性。

3.简要介绍泰勒公式的概念，并说明其在近似计算中的应用。

4.解释函数的极值与拐点的概念，并举例说明如何判断函数的极值点和拐点。

5.简述洛必达法则的基本原理，并说明其在求未定式极限中的应用。

五、计算题

A

1.计算下列极限:lim(x->0)(sinx/x)20

2.求函数f(x)=x3・3x+2在x=1处的导数。

3.求函数f(x)=xA2*eAx在x=0处的二阶导数。

AA

4.计算不定积分：J(2x3-4x2+x)dxo

A

5.计算定积分："0,2](x2+1)dxo

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，其成本函数C(x)=1Ox+1OO，其中x为

生产的数量。已知该产品的市场需求函数为P(x)=30-x/10,其中P为价格，

x为销售数量。

案例分析：

(1)求该产品在市场需求达到平衡时的产量和价格。

(2)求该产品在市场需求平衡时的最大利润。

(3)若公司希望利润至少为1OOO元，求该产品的最小产量。

2.案例背景：某城市地铁线路的票价设定问题。假设地铁的运营成本函数为

C(y)=0.5yA2+10y+50,其中y为乘客数量。地铁的边际收益函数为MR(y)

=5-y/100o

案例分析:

(1)求地铁在乘客数量为1000时的平均成本和边际成本。

(2)若地铁的固定成本增加至80,求新的边际收益函数。

(3)假设地铁希望获得的最大利润为15000元，求所需的最小乘客数量。

七、应用题

AA

1.已知函数f(x)=2x3-3x2+4x+1，求f(x)和f'(x)o

2.若函数f(x)=xA2*eAx在x=0处的导数不存在，求f(x)在x=0处的极值。

3.已知函数f(x)=ln(x)+1/x,求f(x)的单调区间。

4.求函数f(x)=xA3-3x+1的图像特征，包括极值点和拐点。

5.已知函数f(x)=xA2+2x+1，求f(x)在区间卜1,3］上的最大值和最小值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.X

2.V

3.V

4.V

5.N

三、填空题答案

1.0

2.y=3x

3.>0

4.单调递增

5.f(2xA3-4xA2+x)dx=xA4/4-xA3/3+xA2/2+C

四、简答题答案

1.函数极限的定义：当x趋向于某一值a时，函数f(x)的极限为L,表示为

lim(x->a)f(x)=Lo若存在L,则称f(x)在x=a处有极限。

2.导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的切线斜率。若导数大于0,则

函数在该点单调递增；若导数小于0,则函数在该点单调递减。

3.泰勒公式的概念：泰勒公式是多项式近似表达函数的一种方法。它表示函数

在某一点附近的任意阶导数可以由该点处的函数值和导数值来确定。

4.函数的极值与拐点的概念：函数的极值是指函数在某一区间内的最大值或最

小值。拐点是指函数的凹凸性发生改变的点。

5.洛必达法则的基本原理：洛必达法则是求未定式极限的一种方法。当函数

f(x)和g(x)在x=a处同时趋向于0或无穷大时，若f(x)和g〈x)在x=a处同时存

在,则lim(Xfa)f(x)/g(x)=lim(x->a)f(x)/g'(x)0

五、计算题答案

1.lim(x->0)(sinx/x)A2=1

2.f(x)=6xA2-6x,f'(x)=12x-6

3.f(0)=0,极值为0

4.单调递增区间：(0,+oo),单调递减区间：(-00,0)

5.最大值：f(1)=4,最小值：f(3)=8

六、案例分析题答案

1.(1)产量：1000,价格：2000

(2)最大利润：2000

(3)最小产量：500

2.(1)平均成本：0.5,边际成本：0.5

(2)边际收益函数：MR(y)=5-y/100

(3)最小乘客数量：2000

七、应用