2026届山东省新泰一中数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2026届山东省新泰一中数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）A. B.C. D.2．已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（）A. B.C. D.3．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为()A. B.C. D.4．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为90°B.存在点使得异面直线与所成角为45°C.存在点使得二面角的平面角为45°D.当时，平面截正方体所得的截面面积为5．空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的是（）.A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日6．已知函数，则下列判断正确的是（）A.直线与曲线相切B.函数只有极大值，无极小值C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数7．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种A.360 B.630C.2520 D.151208．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.49．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为，上的点，，设，则向量用为基底表示为（）A. B.C. D.10．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°11．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.12．随机抽取甲乙两位同学连续9次成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9次成绩，则下列说法正确的是（）A.甲成绩的中位数为33 B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是首项为，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________14．已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为______15．已知数列满足，，则______.16．若过点和的直线与直线平行，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆的方程为：.（1）求的值，使圆的周长最小；（2）过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.18．（12分）已知，p：，q：（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围19．（12分）已知抛物线E：y2＝8x（1）求抛物线的焦点及准线方程；（2）过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；（3）过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程20．（12分）在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训88未参加赛会应急救援培训430（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.21．（12分）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线y＝kx＋b为和的“隔离直线”.已知函数，.（1）证明函数在内单调递增；（2）证明和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.22．（10分）已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即故选：B.2、B【解析】先由在线段的垂直平分线上得出，再由题意得出，进而由椭圆定义可求出点的轨迹方程.【详解】如图，因为在线段的垂直平分线上，所以，又点在圆上，所以，因此，点在以、为焦点的椭圆上.其中，，则.从而点的轨迹方程是.故选：B.3、A【解析】用点差法即可获解【详解】设.则两式相减得即因为,线段AB的中点为,所以所以所以直线的方程为,即故选:A4、D【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.5、C【解析】根据题图分析数据，对选项逐一判断【详解】对于A，14天中有1，3，12，13共4日空气质量指数为“良”，故A正确对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确对于C，14个数据中位数为：，故C错误对于D，观察折线图可知D正确故选：C6、C【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.【详解】，，令，得，所以，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；当时，存在使，且当时，；当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；设为的极值点，则，且，所以，，当时，；当时，，故C正确，D错误.7、C【解析】，先安排复习节的科目，然后安排其余科目，由此计算出不同的复习安排方法数.【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，所以不同的复习安排方法有种.故选：C8、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B9、D【解析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】.故选：D10、B【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小【详解】如图，取AD中点为G，连接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故选：B11、C【解析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.【详解】设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前10项和：.故选：C.12、D【解析】按照茎叶图所给的数据计算即可.【详解】由茎叶图可知，甲的成绩为：11，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位数为32，众数为32，平均数为；乙的成绩为：10，22，31，32，35，42，42，50，52，极差为52-10=42，众数为42，平均数为；由以上数据可知，A错误，B错误，C错误，D正确；故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求得，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项【详解】由题意，∴，易知函数在和上都是减函数，且时，，即，时，，，由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，解得，故答案为：14、【解析】根据双曲线的定义先计算出，，注意到图中渐近线，于是利用两种不同的表示法列方程求解.【详解】，则，由双曲线的定义及在右支上，，又在左支上，则，则，在中，由余弦定理，，而图中渐近线，于是，得，于是，不妨令，化简得，解得，渐近线就为：.故答案为：.15、1023【解析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.【详解】数列中，则，，，，，，故答案为：102316、【解析】根据两直线的位置关系求解.【详解】因为过点和的直线与直线平行，所以，解得，故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）直线方程为或，切线段长度为4【解析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【小问1详解】，配方得：，当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.【小问2详解】由（1）得，，圆的方程为：.当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与轴不垂直时，设为，由直线与圆相切得：，解得，所以切线方程为，即.综上，直线方程为或.圆心与点的距离，则切线长度为.18、（1）（2）或【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于与一真一假，分两种情况列式可得结果.【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，所以，所以，解得.（2），当时，，因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，当真时，假，所以，此不等式组无解；当真时，假，所以，解得或.综上所述：实数x的取值范围是或.【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含19、（1）焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程【小问1详解】由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2【小问2详解】当直线l1的斜率为0时，y＝1；当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，联立，得y2-8my+8m+8＝0，因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小问3详解】由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，两式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝020、（1）；（2）.【解析】（1）根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从而求得概率；（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，列出其一切可能的结果，从而求得被选中且未被选中的概率.【详解】解：由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪