2026届甘肃省兰州市兰州第一中学数学高二上期末联考模拟试题含解析

2026届甘肃省兰州市兰州第一中学数学高二上期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（）A.66 B.72C.132 D.1982．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分非必要条件B.“”是“”的必要非充分条件C.在中“”是“”的充分非必要条件D.“”是“”的充要条件4．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交5．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.6．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（）（结果精确到）（参考数值：）A B.C. D.7．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则（）A1011 B.2020C.2021 D.20228．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或9．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.10．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（）A. B.C. D.11．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.12．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________14．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.15．函数的图象在点P（）处的切线方程是，则_____16．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲6978856乙a398964经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的（1）求实数a的值；（2）请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？18．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，点M在抛物线C的准线上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）当λ＝3时，求|AB|的值；（2）当λ∈[]时，求|+|的最大值19．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？20．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.【详解】因为等差数列的公差,所以，则，所以，由，得，所以或12时，该数列的前项和取得最大值，最大值为，故选：A2、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.3、B【解析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.【详解】当时，，非充分，故A错.当不能推出，所以非充分，，所以是必要条件，故B正确.当在中，，反之，故为充要条件，故C错；当时，，，，充分条件，因为，当时成立，非必要条件，故D错.故选：B.4、B【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B5、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.6、C【解析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，令y＝，解得，所以水面宽度为2.24×817.9m故选：C7、C【解析】结合向量坐标运算以及抛物线的定义求得正确答案.【详解】设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，准线为：，因此，所以，即，由抛物线的定义可得，所以故选：C8、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.9、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.10、A【解析】分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.【详解】若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为，解得，所以，直线的方程为，即.故选：A.11、A【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A12、A【解析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】当点和都在圆的内部时，结合点与圆的位置关系得出实数m的取值范围，再由圆心到直线的距离大于半径得出实数m的取值范围.【详解】当点和都在圆的内部时，，解得或直线的方程为，即圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.综上，实数m的取值范围为.故答案为：14、【解析】求解定义域，由导函数小于0得到递减区间，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】显然，且，由，以及考虑定义域x>0，解得:.在区间，上单调递减，∴，解得:.故答案为：15、【解析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求解.【详解】根据导数的几何意义可知，，且，所以.故答案为：16、【解析】已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程.【详解】，圆心，点在以为直径的圆上，，所以圆心是，以为直径的圆的圆的方程是，直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程，，所以直线的一般式方程为.故答案为：【点睛】结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）10；（2）甲的成绩比乙更稳定.【解析】（1）根据甲乙成绩求他们的平均成绩，由平均成绩相等列方程求参数a的值.（2）由已知数据及（1）的结果，求甲乙的方差并比较大小，即可知哪位运动员成绩更稳定.【小问1详解】由题意，甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，有，解得，故实数a为10；【小问2详解】甲的方差，乙的方差，由，知：甲的成绩比乙更稳定.18、（1）（2）【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量的关系可得的A，B的横坐标的关系联立求出直线AB的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；（2）由（1）的解法类似的求出AB的中点N的坐标，可得直线AB的斜率与λ的关系，再由λ的范围，求出直线AB的斜率的范围，由题意设直线MF的方程，令y＝﹣1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小问1详解】当λ＝3时，即S△AFM＝3S△BFM，由题意可得＝3，因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F（1，0），准线方程为y＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，显然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，则（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③联立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值为；【小问2详解】由（1）可得AB中点N（2k，2k2+2），由＝λ，则x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④联立4k2λ＝（1﹣λ）2，因为λ∈[]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，则函数y先减后增，所以λ＝2或时，y最大且为2+，此时4k2最大，且为，所以k2的最大值为：，直线MF的方程为：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因为|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最大值为19、（1）（2）【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【小问1详解】记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是【小问2详解】记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.【详解】（1）令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，，故有.（2）由①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；②当时，令可得，此时函数的增区间为，减区间为.若函数有两个零点，必须且，可得，此时，又由，当时，由(1)有，取时，显然有，当时，故函数有两个零点时，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.21、（1）；（2）存在，方程为和.【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.【小问1详解】由题意得：，解得：，椭圆的方程为；【小问2详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，由得：，则；，，，，，解得：，，满足条件的直线存在，方程为和.22、（1）详见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点E