2022人工智能数学基础数据分析

人工智能数学基础-数据分析一、函数给定一个数集A，对A施加一个对应的法则/映射f，记做:f(A)，那么可以得到另外一个数集B，也就是可以认为B=f(A)；那么这个关系就叫做函数关系式，简称函数。三个重要的因素:定义域A、值域B、对应的映射法则f。A135791113B2468101214B

f

A

A

1常见函数常函数:

y

C一次函数:二次函数:

y

ax2

bx

c幂函数:

y

xa指数函数:

y

ax

，a的取值范围为:

a>0&a!=1对数函数:

y

loga

x

,

a的取值范围为:

a>0&a!=1y

ax

b反函数若函数f

：D

f

(D

),它存在逆映射f－1

：f

(D

)

D，则此映射f－1称为函数f

的反函数.例如，因函数

y=

x

3,

x

R

是单射，所以此函数有反函数.

下面来具体求反函数的解析式.y

用x

来表示x

如何用y

来表示？而由于习惯上自变量用x

表示，应变量用y

表示，所以直接函数y=x

3的反函数就是上页下页返回结束函数的性质（1）函数f

(x)与其反函数f－1(x)关于直线y=x

对称.y..O

x（2）若f(x)是定义在D

上的单调函数，则与其反函数f－1(x)存在，且

f－1(x)也是单调函数，且单调性相同。上页下页返回结束复合函数设函数

y

=

f

(u)

的定义域为D1

,

函数

u=

g(x)在

D上有定义，且

g(D)

D1，则函数

y

=

f

[g(x)],

x

D称为由函数

u

=

g(x)

和函数

y

=f

(u)

构成的复合函数，其定义域为D，变量

u

称为中间变量.

函数

f

和

g

构成的复合函数通常记为

f

◦

g，即

(

f

◦

g

)(x)

=

f

[

g(x)]

.fx g

(x)

=

ugf

(u)

=

f

[

g(x)]如，物体运动的动能Ｅ＝mv2

/2,由落体的动能是时间t

的复合函数上页下页返回结束而自由落体的速度v

=

g

t,

所以自2E

1

mg

2t

2

.幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：-2

-1O

12x-2-112yy=x2y=x3y=x2

1y=x3

1(a是常数)y

xa1x上页下页返回结束y

1）幂函数(Power

Function)基本初等函数(Basic

ElementaryFunctions)2）指数函数(Exponential

Function)y

a

x

(a

0,

a

1)y

a

x(a

1)上页下页返回结束(0,1)y

ax定义域为(

,

)，值域为(0,

)，都通过(0,

1)点。当a>1时，函数单调增加；(0

a

1)当0<a<1时，函数单调减少。(a

0,

a

1)y

log

a

x对数函数是指数函数y=ax的反函数,

定义域为(0,

),图形通过(1,0)点。当

a>1

时,

函数单调增加；当

0<a<1时,

函数单调减少。a上页下页返回结束y

log

x(a

1)y

log

a

x(0

a

1)(1,0)3）对数函数(Logarithmic

Function)正弦函数上页下页返回结束y

sin

xy

cos

x余弦函数y

sin

x与y

cos

x的定义域均为(

,

)，均以2

为周期。y

sin

x为奇函数，y

cos

x为偶函数。它们都是有界函数。4）

三角函数

(Trigonometric

Function)y

cot

x

定义域:x

(2n

1)

/2

。周期:

。奇函数。x-4-224y-

Ox-4-224y-

O正切函数上页下页返回结束y

tan

x定义域:x

n

。周期:

。奇函数。余切函数正割函数y

sec

x

(

)cos

x1)上页下页返回结束sin

x1余割函数y

csc

x

(

y

arcsin

x反正弦函数y

2-1O1

x

2上页下页返回结束5）反三角函数(Anti-TrigonometricFunction)y

arccos

x反余弦函数y

-1O1

x上页下页返回结束y

arctan

x反正切函数2

2

xy2

2上页下页返回结束

反余切函数上页下页返回结束y

arccot

x中国古代的极限思想(1)“截杖说”（庄子）——一尺之棰，日取其半，万世不竭。第一天剩下1/2，

第二天剩下1/4，第三天剩下1/8，…，第n天剩下1/2n, …

…所以，所余杖棰长度组成数列显然,

该数列中的项随着n

的增大

越来越接近

0.而且随着n

的无限增大,该数列的项会无限接近0.上页下页返回结束二、极限正24边形

(2)

“割圆术”（刘徽）——割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。正6边形A1正12边形上页下页返回结束2A基本思想是用内接正

6

2n

1

边形的面积

An

来近似圆面积，而且随着n

的无限增大，多边形的面积An

将无限接近圆面积。0••

•

•

•1

•

•在数学上如何来刻画与1

无限接近这个现象呢？答：用“距离”来衡量考察数列•0•2124334

165•

•

•

•

•

•56上页下页返回结束xn

与1

的距离可见，n

越大，|

xn

1|

就越小，即xn

与1

就越接近.给定0.01,即从第100项往后，xn与1

间的距离就可以小于0.01.给定0.0012

,即从第833

项往后的所有项与1

间的距离都小于0.0012

.给定10

–9

,即从第10

9

项往后的所有项

与1

间的距离小于

10

–

9

.上页下页返回结束初步推断：

无论有一个多么小的正数ε，总可以找到一个正整数N，数列极限的定义设{

xn

}为一数列.

若有常数

a，对任意给定的正数

ε（无论它有多小），总存在正整数

N，

使当

n

>

N

时，不等式

|

xn

a

|

<

ε

恒成立,

则称

a

是数列{

xn}

的极限或称

{

xn

}

收敛于

a

,

记为或若这样的a

不存在，则称数列{xn

}无极限或{xn

}发散或不存在。当n

>N

时，|

xn

–1|<ε.上页下页返回结束极限的

N

语言

>0,

正整数N，当n

>N

时，|

xn

a

|<

.说明：

是任意的，这样才能表示无限接近。N

是相应于

的，只要N

存在，而不必找其最小值。上页下页返回结束用定义证明数列极限的证明思路关键找

N

!分析过程：从最后的结论不等式|

xn

a

|<

出发，解出n

应大于怎样的数，对此数取整即得N.解不出n，必须对结论不等式进行适当的放大， 使放大后的不等式能解出n

.证明过程：取定上述N

，将分析过程逆推.上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:xn

1

1n

(

1)nn

0,欲使即

只要

n

1

因此

,

取

N

[

1

]

,

则当

n

N

时,

就有

1

n

(

1)nnn

(

1)n故

1lim

xn

limn

n

n,n

n|

cos

nπ

|

2

1例2.分析：n

无法解出!注意到故只需要上页下页返回结束证:

1n从而上页下页返回结束练习.上页下页返回结束证:分析：收敛数列的性质定理1.若数列{xn}收敛，则它的极限唯一.证：反证法.设xn

a

,xn

b,且a

<b.ab(

)(

)则由极限定义知，对此

>0

，

正整数

N1

,

当n>N1

时，

正整数

N2

,

当n

>N2

时，故取N

=max{N1,

N2},当n

>N

时，有矛盾！从而假设不成立！于是由a,b

的大小任意性可推知a=b.

即极限唯一。上页下页返回结束证:再取则有注：数列收敛故数列{xn}有界。数列有界当n

>N

时，有|

xn

a

|

<1,定理2.有界但不收敛.如，数列n上页下页返回结束n取

=

1

则

正整数

N

,若数列{x

}收敛，则数列{x

}一定有界.从而有证:

只证

a

>

0

的情况.推论:定理3. (

收敛数列的保号性)0a()取当n>N

时，有则由极限定义知，

正整数N

，因

a

>

0,

故

xn

>

0

.若且

正整数

N

，当

n

>

N

时，则

a

0 (

0

).上页下页返回结束1、自变量趋于有限值x0时函数的极限考察函数f

(x

)自变量变化过程的六种形式.上页下页返回结束2、自变量趋于无穷大时函数的极限函数的极限自变量

x

x0时函数的极限如何刻画x

x0

?即x0

的去心

邻域，

是个较小的正数。如何刻画对应函数值的变化？要有对应函数值，就要先使函数在x0的去心

邻域内有定义，而函数在x0有无定义则无要求。如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数A

？上页下页返回结束0自变量

x

x

时函数的极限定义设函数f(x)在点x0

的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A

，对任意给定的正数

（无论它有多小），总存在正数

，使得当x

满足0<|

x

x0

|<

时，对应的函数值都有

|

f

(x)

A

|<

，则称

A

为函数

f

(x)

当x

x0

时的极限,

记作

或几何解释:lim

f

(

x)

A

ε

0,x

x0

δ

0,

当0

|

x

x0

|

δ

时|

f

(

x)

A

|

ε.ε

δ

语言描述：上页下页返回结束例1.分析：证:取必有因此上页下页返回结束右极限:

易见，lim

f

(

x)

A

x

x0f

(

x)

Ax

x

x

x

lim

f

(

x)

lim0

0左极限与右极限（单侧极限）左极限:

上页下页返回结束例2.证明：从右图易见，1。。e2•显然e

2

,从而故函数

f

(x)

当

x

1

时极限不存在。上页下页返回结束自变量

x

时函数的极限如何刻画x

?其中X

是个较大的数。如何刻画对应函数值f

(x)的变化？要有对应函数值，首先要使函数在|

x

|>X

内有定义。如何刻画对应的函数值f

(x)无限接近于某个常数A

？上页下页返回结束自变量x

时函数的极限定义设函数

f

(x)

在当|x

|

大于某一正数时有定义。如果存在常数

A

，对任意给定的正数

（无论它有多小），总存在正数

X，使得当

x

满足|x

|

>

X时，对应的函数值都有|

f

(x)

A|<

，则称

A为函数

f

(x)

当x

时的极限,

记作

或ε

X

语言描述：上页下页返回结束lim

f

(

x)

A

ε

0,

X

0,x

|

f

(

x)

A

|

ε

.当

|

x

|

X

时,AxyO几何解释:直线y

=A

为曲线y

=f

(x)的水平渐近线.2.

左极限与右极限（单侧极限）上页下页返回结束例3.分析:取因此从图中可见，证：欲使即xO上页下页返回结束三、函数极限的性质定理1（函数极限唯一性）定理2（函数极限的局部有界性）证：因存在，则此极限唯一。上页下页返回结束如果(函数极限的局部保号性)证：定理3上页下页返回结束极限存在的两个准则准则I

（两边夹）：若数列{xn

},{yn

}和{zn

}满足下列条件:则数列{xn

}的极限存在且准则II

：单调有界数列必有极限两个重要极限第一个重要极限lim

1xsin

xx

0证:

当△AOB

的面积＜即时，圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积显然有B单位圆上页下页返回结束

e)x1lim(

1

x

x第二个重要极限证明思路:首先证明数列{xn}是单调有界数列从而极限存在， 其中,其次利用两边夹准则证明再用变量代换法证明

联合上面两个结论可得详细证明过程课下自学！上页下页返回结束e

2.718281828459045...先证：第一步，证明数列{xn}是单调增加的。易见,上页下页返回结束第二步,

证明数列{xn}有界.从而,其中我们用了不等式

(数学归纳法)于是,

由单调增加和有界性知数列{xn}

极限存在,

记上页下页返回结束下证:函数极限一方面,

当

x

>

1时,设则1

1n

1上页下页返回结束则从而有故时,另一方面,

当令上页下页返回结束注意：或上页下页返回结束练习1.解:

x

cos

x

lim

sin

x

x

0

12xx

lim(1

1

)xxx

lim(1

1

)xxx

求

lim(1

1

)

x

.解x

(1

x)

x

lim11)

x

]

11x

原式

lim[(1

xe

1

.1)x

.2xx

求lim(1

解x

原式

lim[(1

1)2

x

]212x1

e

2

.三、导数引例1

变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则

到

的平均速度为而在

时刻的瞬时速度为2s

1

gt

2自由落体运动vt

t00

f

t

f

t

v

v

lim

f

t

f

t0

t

t0t

t0xoy

f

(x)C引例2

曲线的切线斜率NTM

x0

x割线M

N的斜率tan

(当

时)切线MT

的斜率曲线

C

:

y

f

x

在

M点处的切线

y割线M

N

的极限位置M

Tf

(x)

f

(x0

)x

x0k

lim

f

x

f

x0

k

tan

lim

tan

x

x0x

x0

y

f

(x)

f

(x0

)x

x00y

;

f

(x

)

;导数的定义定义1.设函数若在点

的某邻域内有定义

,dy0dx

x

xx

x0dxd

f

(x);即在点

x

x

x0处可导,

并称此极限为存在,则称函数在点的导数.记作:x

x0y

0

x

0

x

f

(x

)

lim

y1.常数和基本初等函数的导数公式(C

)

0,(sin

x)

cos

x,(tan

x)

sec2

x,(sec

x)

sec

x

tan

x,(a

x

)

a

x

ln

a,,x

ln

a1a(log

x)

(

x

)

x

1

,(cos

x)

sin

x,(cot

x)

csc2

x,(csc

x)

csc

x

cot

x,(e

x

)

e

x

,(ln

x)

1

,x(arccos

x)

导数公式与基本求导法则,1

x

21(arctan

x)

,1(arcsin

x)

1

x

2.上页下页返回结束1

x

2(arccot

x)

,21

x112.

函数的和、差、积、商的求导法则设

u

u(

x),

v

v(

x)

都可导,

则

(v

0).v

2u

v

uv

(4)

v

u

(1)

(u

v)

u

v

,

(2)

(Cu)

Cu

(C是常数),(3)

(uv

)

u

v

uv

,3.

反函数的求导法则如果函数x

f

(

y)在区间I

y

内单调、可导且

f

(

y)

0

,

则它的反函数

y

f

1

(

x)

在区间Ix

{

x

|

x

f

(

y),

y

I

y

}内也可导,

且有dy上页下页返回结束dx1

dy

1

.f

(

y)

dx[

f

1

(

x)]

或4.

复合函数求导法则设

y

f

(u)

,

u

(

x)，则复合函数y

f

[

(

x)]的导数为d

y

d

ydxd

u

dx上页下页返回结束

d

u

f

(u)

(

x)例1.求y

2x3

5x2

3x

7

的导数.解:y

(2

x

3

)

(5

x

2

)

(3

x)

(7)

2

3

x

2

5

2

x

3

0例2.

已知

f

(

x)

x3

4cos

x

sin

,求f

(x)及f

(

).2

2解:f

(

x)

(

x

3

)

(4

cos

x)

(sin

)

6

x

2

10

x

3.x

22f

(

)

f

(

x)2

2

4

3(

)2

4

sin

3

2

4.

4

sin

x,2

3

x

2

4

sin

x

0

3

x

2

u1

u

2

u

3(Cu)

Cu

(u1

u2

IT在线u教3育领)导

品牌上页下页返回结束(uv

)

u

EDvUCATIO

N

TO

CREuATE

AvBRIG

HT

FUTURE例3.

求

y

x

ln

x

的导数.解：

y

(x

)

ln

x

x

(ln

x)

x

ln

x

x

12

x1

例4.解：y

e

x

(sin

x

cos

x),

求y

.y

(e

x

)

(sin

x

cos

x)

e

x

(sin

x

cos

x)

e

x

(sin

x

cos

x)

e

x

(cos

x

sin

x)

2e

x

cos

x.2(

1

ln

x

1).1

x上页下页返回结束高阶导数.若函数y

f

(x)的导数y

f

(

x)或,d

x

2d2

y可导,则称即y

(

y

)

或d

x2

d

x

(

dx

)d2

y

d

dy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,n

1阶导数的导数称为

n

阶导数

,

分别记作或f

(x)的二阶导数,记作y

的导数为依次类推,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,f

(x)称为零阶导数;f

(x)称为一阶导数.)dn

1

ydxn

1dn

y

d

(dxn

dxy(

n

)

(

y(

n

1)

)

上页下页返回结束导数的应用1：函数单调性通过函数的导数的值，可以判断🎧函数的单调性、驻点以及极值点：若导数大于0，则单调递增；若导数小于0，则单调递减；导数等于零d的点为函数驻点。如果函数的导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数在这一个区间单调递增(或单调递减)，这种区间就叫做单调区间。函数的驻点和不可导点处函数有可能取得极大值或者极小值(即极值可疑点)；对于极值点的判断需要判断驻点附近的导函数的值符号，如果存在使得之前区间上导函数值都大于零，而之后的区间上都小于零，那么这个点就是一个极大值点，反之则是一个极小值点。BA曲线的凹凸性在区间I

上连续,定义.设函数(1)

若恒有图形是凹的;yoxx2x12x1

x2yox2x1x2x1

x2则称(2)

若恒有则称连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.图形是凸的.上页下页返回结束定理(凹凸判定法)(1)在I

内则在I

内图形是凹的;(2)在I

内则在I

内图形是凸的.

设函数上页下页返回结束在区间I

上有二阶导数oxby

f

(

x)a

x1x2x3x4x5

x6一、函数的极值及其求法yoxyoxyx065x0函数的极值与最值导数的应用20

0的某个邻域U

(

x

,

)

有定义,定义设函数f

(x

)在x

且当

x

U

(

x0

,

)

时,恒有

f

(

x)

f

(

x0

)

,则称f

(

x0

)为

f

(

x

)

的一个极大值；如果当

x

U

(

x0

,

)

时,恒有f

(

x)

f

(

x0

)

,则称

f

(

x0

)

为

f

(

x

)

的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.ox0ox

xy

yx066若

f

(

x)

在极值点

x0

处可导，则f

(

x0

)

0

.导数等于零的点称为驻点.对可导函数来讲,极值点必为驻点,xO67yy

x

30设函数f

(x)在x0

连续,且在x0的某去心邻域

(x0

,

)内可导,

)时,f

(x)

0则f

(x)在x0处取得极小值极值存在的第一充分条件00时,

f

(

x)符号保持不变

(

x

,

)(3)

当x

xyOx0y

f

(

x)xyOx0y

f

(

x)(1)

若当x

(

x0

,

x0

)时,f

(

x)

0)时,

f

(

x)

0则f

(x)在x0处取得极大值若当x

(x0

,x0(2)

若当x

(

x

,

x

)时,f

(x)

00

0若当x

(x0

,x0则f

(x)在x0处无极值的极值.

3233

1f

(

x)

x

(

x

1)

2

x33xx

25

5

求极值可疑点

令列表判断

2;f

(

x)

0

,

得驻点

x12另x

50为不可导点解:

(1)函数的定义域为(

,

)

且在(

,

)内连续025

0

0.33x

(

,

0)

0f

(

x)

f

(

x)5(0

,

2

)5(

2

,

)是极大点，是极小点，其极大值为其极小值为例1.求函数极值存在的第二充分条件设函数f

(x)在它的驻点x0处二阶可导,则(1)

如果

f

(

x

)

0

,则

x0

0(2)

如果

f

(

x0

)

0

,则

x0为极小值点；为极大值点；0(3)

如果

f

(

x

)

0

,则无法判断.称为“二阶导数非零法”(2)当

f

(

x0

)

0

时,失效,如:

x

,

x

在

x

0

处

.2

3xyox0

xyox070

说明：(1)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；例271解

f

(

x)

3

x2求出函数

f

(

x)

x3

3

x2

24

x

20

的极值.

6

x

24

3(

x

4)(

x

2)

,令

f

(

x)

0

得驻点

x1

4,

x2

2.f

(

x)

6

x

6

,

f

(

4)

18

0,f

(2)

18

0,故极大值f

(

4)

60,f

(2)

48

.故极小值M72m

3

x2

24

x

20f

(

x)

x3图形如下确定函数的定义域；求导数f

(x);求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；用极值的判定第一或第二充分条件.注意第二充分条件只能判定驻点的情形.73求极值的步骤:ooxb

xaoxabab极值是局部性的,而最值是全局性的.若函数f

(x

)在[a,b]上连续，则f

(x

)在[a,b]上的最大值与最小值存在.y

y

y74二、函数的最大值、最小值问题具体求法：求出定义域内部的极值嫌疑点(驻点和不可导点)x1

,

,

xk

,并算出函数值

f

(

xi

)

(i

1,2,

,

k

)

；求出端点的函数值

f

(a),

f

(b)

；75(3)

最大值M

max

f

(

x

),

,

f

(

x

),

f

(a),

f

(b)

1

k最小值

m

min

f

(

x

),

,

f

(

x

),

f

(a),

f

(b)

.1

k

12

x

14

的在[

3,4ED]UCATION

TO

CREATEA

BRIGHT

FUTUREy

2

x3

3

x2

12

x

1476解上的最大值与最小值.

f

(

x)

6(

x

2)(

x

1)例3

求函数

y

2

x3

3

x2解方程

f

(

x)

0

得

x1

2,

x2

1.计算f

(

3)

23;f

(

2)

34;f

(1)

7;f

(4)

142;比较得最大值f

(4)

142最小值f

(1)

7.如果f

(x)在[a,b]上单调,则它的最值必在端点处取到；如果

f

(

x

)

在[a,

b]

上连续,且在

(a,

b)

内可导,且有惟一驻点,

则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.77说明:a78xa

2x将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积为例4解a

2x将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？求导得

V

(a

2

x)(a

6

x)，设小正方形的边长为x，则方盒的容积为例4解2V

x(a

2

x)

，，

2

x

0,ax79求导得

V

(a

2

x)(a

6

x)，

惟一驻点6x

a

,6所以当

x

a

时,V

有最大值272

a

3

.

6

V

a

6

V

24

x

8a

，

V

a

4a

0

，将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？设小正方形的边长为x，

则方盒的容积为解2V

x(a

2

x)

，，80

2

x

0,a例4要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能81使所用材料最省？练习解

即表面积最小.设底半径为r,

高为h，则容积

V

r

2h总的表面积为，V

r

2

h

S

2

r

2

2

rh

2

r

2r

2Vr

(0,

)V2

r

3,

2r

，即高与底面直径相等.令

S

4

r

2V

0

，得惟一驻点r

2由实际问题,此时表面积最小.此时h

V

Vr

r

2

r

3h

r

导数应用3

Taylor公式Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，

Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这一点的邻域中的值。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶函数，且在开区间(a,b)上具有n+1阶函数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，有Taylor公式如下：

(f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，Rn(x)是Taylor公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小)Taylor公式f

x

f

x

f

x

n

Rn

x

x

x0

f

n

x

0n!

...

2x

x0

f

x0

x

x0000!

1!

2!n!nx

Rn

x

f

n

0

x

...

f

x

x1!

2!0

f

0

0!

f

0

f

20!

11!

1n!

n

*(n

1)!麦克劳林公式（特殊x0=0）Taylor公式-余项nf

x

k

0f

x

k

n

R

x

k

x

x

00k!拉格朗日(Lagrange)余项：R

x

f

00n

1

!

x

x

n

1

x

x

0

n

1

xn]0nnR

x

o[

x

x

佩亚诺(Peano)余项：几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

1

x

1

x2

1

xn

o(

xn

)2!

n!e

x)

o(

x(2m

1)!2m

13

2m

11

(

1)m

1xsin

x

x

x

(2m)!(

1)m2!

4!3!1

12m2mx

o(

x

)42cos

x

1

x

x

(

1)n

11312ln(1

x)

x

32nnx

o(

x

)nx

x

上页 下页 返回 结束几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

1

x

x

2

xn

o(

xn

)1

x1

o(

xn

)n!

m(m

1)

(m

n

1)

xn2!(1

x)m

1

mx

m(m

1)

x

2

Taylor公式应用1展开三角函数y=sin(x)（使用麦克劳林公式进行展开操作）

2

n

f

n

x

sin

x

2

m

1

xx

2

m

1x

3

x5sin

x

x

...

3!

5!2

m

1

2m

1

!

R

1Taylor公式应用1

2

m

1

xx

2

m

1x

3

x5sin

x

x

...

3!

5!2

m

1

2m

1

!

R

1Taylor公式应用2计算近似值

，并估计误差值1

nn

x

e

lim

1

y

ex

y

y

exk

0nex

k

x

x

ex0k!02!

n!

ex

1

x

x2

xn

...

令x0

0n!12!

3!1

1

...

e

1

1

令x

1

e

2.7182815令n

10

2.73*10

812

1221011*11!121

11!

11!

12

12

*13

...

1

1

1

1

...

...

1

1

1

1

111!

12!

RTaylor公式应用2四、多元函数的极限多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr上页下页返回结束上页下页返回结束设D

是平面上的一个点集，如果对于每个点

P(x,y)

D，变量z

按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z

是变量x,y

的二元函数，记为

z

f

(x,y)（或记为z

f

(P)）.类似地可定义三元及三元以上函数．当n

2时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量因变量等概念.1.二元函数的定义上页下页返回结束2.

二元函数

z

f

(x,y)的图形设函数z

f

(

x,

y)的定义域为D

，对于任意取定的P(

x,

y)

D，对应的函数值为z

f

(x,y)，这样，以x

为横坐标、y

为纵坐标、z

为竖坐标在空间就确定一点M

(x,y,z)，取(x,y)遍D

上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|

z

f

(x,y),(x,y)

D}，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.上页下页返回结束xzy例如,

二元函数z

1

x2

y2定义域为

圆域

(

x,

y)

y2

1

x2图形为中心在原点的上半球面.又如,z

sin(x

y),(x,y)

R2说明:

二元函数

z

=

f

(x,

y),

(x,

y)

D的图形一般为空间曲面

.1三元函数定义域为

y2

z2

)u

arcsin(x2单位闭球体图形为空间中的超曲面.xyzo上页下页返回结束多元函数的极限回忆一元函数极限的概念若

0,

0,

当点

x

Uˆ

(

x

,

)

时,0f

(

x)

U(a,

),

即

|

f

(

x)

a

|

,

则称lim

f

(

x)

a

.x

x0现在进行形式上的推广上页下页返回结束上页下页返回结束多元函数的极限x

x0y

y0f

(

x,

y)

A(

x

,

y

)

(

x0

,

y0

)f

(P)

A

(P

P0

)设二元函数f(P

)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是其聚点.如果存在常数A,

>0，总存在正数

,使得在P0

的空心

邻域内的一切点P

(x,y)都成立|

f

(P)

A

|

|

f

(

x,

y)

A

|

则称常数A

为函数f(x,y)当(x,y)

(x0

,y0

)时的极限，记作lim

f

(x,y)

A

或也记作P

P0lim

f

(P)

A

或二元函数的极限也称为二重极限.例1.

设1f

(

x,

y)

(

x22(

x

y

0)2

y

)sinx2

y22求证：lim

f

(

x,

y)

0

.x

0y

0证:故lim

f

(

x,

y)

0x

0y

0

ε

0,当0

x2

y2x2

y2

δ时,

总有

δ

ε

,要证

ε上页下页返回结束五、多元函数偏导数在一个多变量的函数中，偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其它变量恒定不变。假定二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域内的一个点，将y固定在y0上，而x在x0上增量Δx，相应的函数z有增量Δz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)；Δz和Δx的比值当Δx的值趋近于0的时候，如果极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导

数(partial

derivative)，记作：f'x(x0,y0)x

x0y

y0

x对x的偏导数:

fx

x0y

y0

y对y的偏导数:

f推广

对于三元函数

u

=

f

(x,

y,

z)可类似定义u

在点P0(x0,

y0,

z0

)分别对x,

y,

z的偏导数.x

0

0

0f

(

x

,

y

,

z

)

limf

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

Δxf

(

x0

Δx,

y0

,

z0

)

f

(

x0

,

y0

,

z0

)

,Δx

0limΔy

000Δyf

(

x

,

y

Δy,

z0

)

f

(

x0

,

y0

,

z0

)

,limΔz

0上页下页返回结束0

00Δzf

(

x

,

y

,

z

Δz)

f

(

x0

,

y0

,

z0

)

.偏导数是多元函数对其中某一个自变量（其余自变量视为常量）的变化率例1

求解法1:z

x2

3x

y

y2

z

x

x

(1,

2)

z

解法2:

x

(1,

2)z

z在点(1,2)

处的偏导数.

z

y

(1,

2)2

x

3

y

,

z

y3

x

2

y

y

(1,

2)

z

x2

6

x

4x

1z

1

3

y

y2y

2上页下页返回结束

x

x

z

y

y

z

y

x

z

x

y纯偏导混合偏导高阶偏导数fxx

f11

函数z

f

(

x,

y)的二阶偏导数为

z

2

z

2

xyy

222

2

z

f

f

y

f1

2

2

z

f

x

y

x

y

2

z

y

x

fyx

f2

1

上页下页返回结束类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f

(x

,y)关于x

的三阶偏导数为

n

zz=f

(x

,y)关于x

的n–1

阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为

xn

1

y

定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上页下页返回结束线性代数（补充知识）线性(linear)指量(变量)与量(变量)之间按比例、成直线关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；而非线性(non-linear)是指不成比例、没有直线关系，一阶导数不是常数的函数。线性代数中的基本量指的是向量，基本关系是严格的线性关系；也就是可以简单的将线性代数理解为向量与向量之间的线性关系的映射。上页下页返回结束一、向量向量：是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示，向量常

使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量，比如

xi

yj

zk，可以用坐标(i,j,k)表示向量a向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，向量坐标到原点的距离，常记作|a|单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量就叫做单位向量

a

OP上页下页返回结束向量的运算设两向量为：a1

1

2

2

x

,

y

，b

x

,

y

向量的加法/减法满足平行四边形法则和三角形法则数乘：实数λ和向量a的乘积还是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ||a|；数乘的几何意义是将向量a进行伸长或者压缩操作1

2

1

2上页下页返回结束x

,

y

a

b

x

y

1

2x2

,

y1

y

a

b

x

1

1

a

x

,

y

向量的运算设两向量为：aθ1

1

2

2

x

,y

，b

x

,y

，并且a和b之间的夹角为:

数量积：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量/实数，记作

a

b

a

b

a

b

cos

向量积：两个向量的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a

b

；向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

上页下页返回结束a

b

a

b

sin

lP

P(x,

y,

z)方向导数定义:

若函数

f

(

x,

y,

z)

在点

P(

x,

y,

z)

处

f

0lim则称

l

f

为函数在点P

处沿方向l

的方向导数.

l

lim

f

(

x

x,

y

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)记作

f

上页下页返回结束

0沿方向

l

(方向角为

,

,

)存在下列极限:f

(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,定理:

若函数P(x,

y,

z)l则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在

,

且有

l

0

x

y

z

f

lim

f

f

cos

f

cos

f

cos

f

f

cos

f

cos

f

cos

l

x

y

zf

(

x,

y,

z)

f

f

x

f

y

f

z

o

(

)

x

y

z

o

(

)在点P

可微,证明:

由函数

得

P

上页下页返回结束故对于二元函数

f

(

x,

y),

在点P(

x,

y)处沿方向

l

(方向角为

,

)

的方向导数为

0

f

lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

l

fx

(

x,

y)cos

f

y

(

x,

y)cos

Plxyo

f

f

l

x

f

f

l

x特别:2当

l

与

x

轴同向

0

,

时,

有2当

l

与

x

轴反向

,

时,

有l上页下页返回结束例1.求函数的方向导数.

u

2

x

yz

l

P142

x

2y

3

14在点

P(1,

1,

1)

沿向量

l

(2

,

1,3)

u

u

cos

u

cos

l

x

y解:向量l的方向余弦为,

cos

14

142

1

,cos

14上页下页返回结束3cos

z

u

cos

点Q(2,

1)的方向的方向导数.求函数

z

xe2

y

在点

P(1,0)

处沿从点

P(1,0)到方向l即向量PQ

(1,

1)的方向,与l同方向的

1,(1,0)

(1,0)

e2

y

x

z21

)

2

(

21

1

(1,0)

l

z所以所求方向导数为例2解单位向量el

(1

2

,

1

2).

(cos

,cos

)因为函数可微分,且

2,

2

xe2

y(1,0)(1,0)

y

z2

.上页下页返回结束2练习

求f

(

x,

y,

z)

xy

yz

zx在点(1,1，2)沿方向l的方向导数,其中

的方向角分别为60

,45

,60

.,

).2

2

21

2

1e

(cos

60

,cos

45

,cos

60

)

(

,l因为函数可微分,且fx

(1,1,2)

(

y

z)

|(1,1,2)

3,f

y

(1,1,2)

(

x

z)

|(1,1,2)

3,fz

(1,1,2)

(

y

x)

|(1,1,2)