江苏省宿迁市泗阳县2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省宿迁市泗阳县2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过，两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则，因，故.故选：A.2.若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可设双曲线方程为且，又在双曲线上，所以，则双曲线的方程是，即．故选：B．3.已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，圆心，圆的直径为，半径为所以圆的方程为，即，故选：B.4.圆被直线所截的弦长为（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】方程可变形为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长.故选：D.5.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆：的标准方程为，圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为相交.故选：C.6.椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由椭圆方程，当时，椭圆焦点在轴上，，，，所以，解得；当时，椭圆焦点在轴上，，，，所以，解得，故实数的取值范围为.故选：D.7.著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间距离.结合上述观点，可得的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号，所以的最大值为.故选：C.8.双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，为锐角，因为，，所以，，，又，，，，，，，（负值舍去），，，，双曲线的离心率为．故选：A．二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为B.直线与直线之间的距离为2C.过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为D.将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为【答案】AD【解析】对于A：直线写成截距式为，易知在轴上的截距为，故A正确；对于B：直线与直线之间的距离为，故B错误；对于C：当直线过点，且在轴，轴上截距都为0时的直线方程为，故C错误；对于D：直线的倾斜角为，若绕原点逆时针旋转，则旋转后的直线倾斜角为，此时斜率为，故所得到的直线为，故D正确；故选：AD.10.已知圆，直线，为实数，则（）A.直线恒过定点B.直线与圆有两个交点C.圆心到直线的距离的最大值为D.，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为【答案】BCD【解析】选项A，，，，，直线恒过定点，选项A错误；选项B，直线恒过定点，，圆心，点到圆心的距离为，又圆的半径为，，在圆内，过圆内点的直线必与圆相交，选项B正确；选项C，圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，则最大值为，故选项C正确；选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上半径，，设，，设，当时，取最大值，且最大值为，的最大值为，的最大值为，故选项D正确.故选：BCD.11.动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（）A.的周长为8B.的面积的最大值为C.动点，则为定值D.线段的长度可以是【答案】BCD【解析】由题意，因为，所以的周长为，故A错误；当为短轴顶点时，的面积的最大值为，故B正确.，由点在椭圆上可得，若动点，则，所以，故C正确；因为，所以线段的长度可以是.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________.【答案】或【解析】由题意可知，，所以，离心率.故答案为：.13.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________.【答案】【解析】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个，所以，即，解得.故答案为：.14.已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】设点，则由可得，整理得，圆心为，半径，由题意可知直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，解得或，所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线和，（1）若与平行，求m的值；（2）若与垂直，求m的值．解：（1）若与平行，则，解得：或，当时，直线和，与平行；当时，直线和，与重合.综上：.（2）当时，即时，与垂直，即时，与垂直.16.在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为.（1）求点的坐标；（2）求直线的方程.解：（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得，所以直线的方程为，联立，解得，即点的坐标为.（2）设点关于直线的对称点为，直线的斜率为，则直线的斜率为，并且的中点在直线上，即，解得，所以，，所以直线的方程为，即.17.已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点.（1）求实数的值；（2）求过点且被圆所截弦长最长的直线方程；（3）求圆的标准方程.解：（1）圆与直线相切于点，则点在直线上，，解得：.（2）圆的圆心为，过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心，，所求直线方程为：，即.（3）设圆的圆心，半径为，直线与圆相切，，即，，圆与圆外切，且点在圆上，，当时，，，解得：，，，圆的标准方程为：；当时，，，解得：，，，圆的标准方程为：；综上所述：圆的标准方程为或.18.设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为.（1）求双曲线的离心率；（2）点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值.解：（1）根据题意，直线方程为：，即，又原点到直线的距离为，即，则，又，所以，则，解得或，所以或；（2）当时，由可得，双曲线经过点，则，解得可得，所以双曲线方程为，当时，由可得，双曲线经过点，则，无解，所以双曲线方程为，联立方程。整理可得：，解得，因为，不和双曲线的顶点重合，所以根据韦达定理：，，因为以为直径的圆经过坐标原点，则，解得或，所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点.19.已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）.（1）求的方程；（2）过点作直线交于，两点，为坐标原点.①若，求直线的斜率；②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.（1）解：根据题意，在中，则①，椭圆经过点，则②，再结合，可得，则椭圆E