辽宁省朝阳市多校2025-2026学年高二上学期12月份联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市多校2025-2026学年高二上学期12月份联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意解出集合，，所以，故选：D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，，，所以，，离心率.故选：C.3.已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，所以复数在复平面内所对应的点是，位于第二象限．故选：B.4.若圆与圆外切，则为（）A.1 B.2 C.5 D.1或5【答案】A【解析】圆的圆心和半径分别为.圆的标准方程为，其圆心和半径分别为.由两圆外切，得，所以，解得.故选：A.5.已知命题：，，命题：，，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题【答案】B【解析】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题；当时，，故命题：，为假命题，为真命题.故选：B6.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，动点所在平面内运动，可知四点共面，由空间中四点共面的向量定理可知，，解得，故选：D.7.若，，均为正数，且，记，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，，所以.因为，所以，即，而，所以；又因为，所以.故选：B.8.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：因为，为中点.所以，又，与交于点A，平面，平面.所以平面，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.故，.所以.所以.又，，设平面的法向量，则.令，则，，所以.点到平面距离为，解得或（舍）.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若点和点关于直线对称，则（）A.的中点坐标为 B.C.直线的斜率为1 D.【答案】ABD【解析】易知的中点坐标为，则点在直线上，所以，解得，所以直线的斜率为.又因为，所以，解得.故选：ABD.10.已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（）A.5 B.8 C.6 D.【答案】BC【解析】双曲线，M为C右支上的一个动点，设，则，两条渐近线方程为，则两条渐近线互相垂直，，所以，，有，则，当且仅当时等号成立，所以四边形OAMB的周长为，结合选项可知，8，6适合题意，故选：BC．11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.若将向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是C.若在上有5个零点，则的取值范围是D.若在上单调，则的最大值是【答案】ABC【解析】对于A，由图可知，，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；对于B，将向右平移个单位得到函数，因为是奇函数，所以，所以，，所以时，正数取得最小值，故B正确；对于C，因为，所以，因在上有5个零点，所以，解得，即的取值范围是，故C正确；对于D，因为，所以，因为在上单调，所以，则，所以的最大值是，故D错误．故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，且，则__________.【答案】6【解析】因为，所以其对应坐标成比例，即，解得.故答案为：6.13.已知一个圆台形容器的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，装满水后再全部倒入一个底面半径为，高为的圆锥形容器中，则为_____.【答案】7【解析】由题意圆台的体积为，，所以圆锥的体积为，解得，故答案为：7.14.已知为抛物线的焦点，为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为6，则的方程为_____.【答案】【解析】由题意可设的方程为，，，将代入，得，所以，且，由抛物线定义及，得，即，所以，即，又，所以，解得，又，即，所以的方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.在中，角，，的对边分别为，，，已知，.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）已知在中，，，.根据余弦定理可得：所以.（2）已知，，.根据正弦定理可得，因为，根据大边对大角可知，又，所以为锐角，则.16.已知圆和点.（1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程.解：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线AB的方程为，即，综上所述，直线的方程为或；（2）因为，则，所以以点为圆心，为半径为圆的方程为，联立，两式相减整理可得：，即EF所在的直线方程为.17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角正弦值.（1）证明：因为四边形是正方形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面PAD，所以，又平面，所以平面，又平面PCD，所以平面平面PCD.（2）解：分别取的中点，连结，因为，所以，且，因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，，又平面平面，所以，即，又，所以，以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设为平面的一个法向量，则令，得，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.某公司举办乒乓球比赛，比赛采取局胜制，已知在甲､乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.（1）求前局中，甲､乙各获胜局的概率；（2）求第局乙获胜且第局甲获胜的概率；（3）求甲､乙比赛结束时所用局数不大于的概率.解：（1）由题意知：每局比赛乙获胜的概率为；记事件“第局比赛甲获胜”，事件“第局比赛乙获胜”，事件“前局中，甲、乙各获胜局”，则，.（2）记事件“第局乙获胜且第局甲获胜”，则，.（3）记为甲、乙比赛结束时，只进行局比赛的概率，只进行三局比赛的结果为，，；只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，，只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，，；甲､乙比赛结束时所用局数不大于的概率为.19.已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.（1）求的标准方程；（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.①求的大小；②求四边形面积的最小值.解：（1）设椭圆的半焦距为