（人教版）必修第二册高一物理下册期末复习专题01 小船渡河和关联速度解析版

§小船渡河和关联速度问题预习案预习案预习检测（检测有助于查找存在的问题和不足！）1.汽艇以18的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m。设想河水不流动，汽艇驶到对岸需要多长时间？如果河水流速是3.6，汽艇驶到对岸需要多长时间？汽艇汽艇在对岸何处靠岸？【答案】；；0.1km。【解析】汽艇以18km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m，做匀速直线运动，则汽艇行驶到对岸需要的时间,河水流动不会影响汽艇行驶到对岸需要的时间，仍为,沿着河岸方向发生的位移为2.下列各图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。假设船头方向为船在静水中的速度方向，则以下各图可能正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】A．静水速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游。且过河时间最短，故A正确。B．根据平行四边形定则知，若船头指向河对岸上游，合速度的方向正好垂直河岸，过河的位移最小。故B正确。C．由于流水速度，因此当船头指向河对岸时，船的合速度方向不可能垂直河对岸，不可能出现此现象，故C错误；D．船头的指向为静水速的方向，静水速的方向与流水速度的合速度的方向不可能是图示方向。故D错误。故选AB。3.如图所示，渔民用长绳拴住渔船并绕过岸上定滑轮，人以恒定的速度拉绳子使渔船靠岸，已知当绳与海面夹角为时，渔船的速度为，此时渔船离岸，则下列判断正确的是（）A．海岸距离海面的高度是12m B．人拉绳子的速度大小为4m/sC．渔船继续运动3s后，此时渔船的速率为5m/s D．渔船继续运动3s后，离岸的距离为9m【答案】ACD【解析】A．海面离岸的高度故A正确；B．将船的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直于细绳方向的速度，则人拉绳子的速度故B错误；CD．3s后，人拉绳通过的位移为9m，细绳长度缩短9m，当绳与海面夹角为30°时，从滑轮到船的绳长为24m，则此时从滑轮到船的绳长为15m，根据勾股定理可算出这时船离岸的距离为9m，此时渔船的速率故CD正确。故选ACD。我的疑问（发现问题比解决问题更重要！）请将预习中未能解决的问题和疑问写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。探究案探究案质疑探究（质疑解疑，合作探究）探究点一：小船渡河问题例1.如图所示，一条宽为d的大河，小明驾着小船从码头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。（1）渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？（2）小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？（3）小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？【答案】（1）见解析；（2）船头垂直河岸航行渡河时间最短，，；（3）见解析【解析】（1）船相对水的运动（即船在静水中的运动），它的方向与船头的指向相同；船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。（2）由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如下图所示则有此时船渡河的位移位移方向满足故船头垂直河岸航行渡河时间最短，最短时间为，位移为。（3）第一种情况：船速大于水速，最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸，船头与上游河岸夹角θ满足如图所示所用时间为第二种情况：船速小于水速，如图所示以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大（设为α），此时航程最短，由图可知最短航程为此时船头指向与上游河岸成角满足故当船速大于水速时，船头与上游河岸夹角满足时，渡河位移最小，为d，当船速小于水速时，船头与上游河岸夹角满足时，渡河位移最小，为。针对训练1.2021年8月7日，在东京奥运会静水女子500米双人皮划艇决赛中，中国组合徐诗晓/孙梦雅以1分55秒495夺得冠军，创造了奥运会纪录。假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是（）A．若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头对着正对岸B．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为【答案】AD【解析】皮划艇船头对着河道正对面时，划艇垂直河岸的分速度v最大，河宽d一定，由可得过河时间最短，故A正确；B．当v<v0时，由矢量三角形定则可知皮划艇一定不能到河道的正对面，故B错误；C．当船头方向不变时，根据运动的独立性，若水流速度增大，过河时间不变，故C错误；D．若皮划艇正好到达河道的正对面，则合速度为过河时间为故D正确。故选AD。针对训练2.如图所示，小船从A码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d，划船的速度v船恒定.河水的流速与到河岸的最短距离x成正比，即

）v水

A．由于河中各处水速不同，因此不能求出渡河的时间B．由于河中各处水速不同，因此不能求出划船的速度

v

船C．由于河中各处水速不同，因此小船不能到达B码头

D．由于河中各处水速不同，因此小船渡河时应做曲线运动【答案】D【解析】A．沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为，划船的速度恒定，则渡河的时间可以求得，A错误；B．小船在某一位置的速度大小因为只要知道小船的位置就可知道，即就可以求出小船在某一位置的速度大小，B错误；C．河中各处水速不同，只要调整好航向，小船就能到达码头，C错误；D．小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，D正确。故选D。针对训练3.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为多少？【答案】【解析】设河宽为d，小船相对静水的速度为，去程时过河的时间为回程的时间由题意知解得针对训练4.一小船渡河，河宽，水流速度。已知，（1）若船在静水中的速度为，求：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（3）若小船只能停靠在河对岸下游处，则小船在静水中航速至少要达到多大？【答案】（1）①船头垂直河岸，，；②船头与上游河岸成角，，；（2）船头的方向与上游河岸成角，，；（3），，【解析】（1）①欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头垂直河岸，所用时间为此时船航行的速度为位移为②欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示根据几何关系可知解得则当船头与上游河岸成角时航程最短，此时的航行速度为则航行的位移为所用时间为（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，因为船在静水中的速度小于水流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为，则航程则角越大，航程越短，当角最大时，航程最短，船头指向如图所示根据几何关系可知,则则船头的方向与上游河岸成角，此时，航行的位移为船航行的速度所用时间为（3）若小船只能停靠在河对岸下游处，当小船以最小的静水速度到达指定地点，小船做直线运动，则实际航线方向与下游河岸的夹角满足则即船头与上游河岸的夹角为时，船在静水中速度最小，如图所示则船航行的速度为船在静水中的速度为航行的位移为航行的时间为规律总结（知识提炼，浓缩精华）小船在河水中实际的运动可视为船在静水中的运动(方向与船身的指向相同)和船随水漂流的运动(速度等于水的流速，方向与河岸平行)的合运动，主要考察两类最值问题：(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可，由图可知，t短＝eq\f(d,v船)，与水流速度无关。(2)渡河位移最短问题情况一：v水＜v船（v水⊥v合）最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝dv船sinθ情况二：v水＞v船（v船⊥v合）最短位移为x＝dsinα=dcosθ，渡河时间为t＝探究点二：关联速度问题例2.某工程队不慎将深水泵掉落井中，通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为，小型卡车向行驶的速度大小为。若深水泵脱离水面后以的速度匀速上升。(1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动；(2)当时，求小型卡车向右运动速度的大小；【答案】(1)向右减速；(2)；(3)(1)如图所示，将分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度，根据平行四边形定则有解得

小型卡车向右运动时，夹角逐渐减小，将逐渐减小，即向右减速。(2)当时，小型卡车向右运动的速度(3)对小型卡车受力分析可知，竖直方向受力平衡，满足

解得

根据牛顿第三定律知，小型卡车对地面的压力大小针对训练5.水平地面上有一辆汽车和一个货厢，细绳绕过滑轮后一端与汽车相连一端与货厢相连，滑轮两侧的绳子均伸直。汽车向右运动，两侧细绳与水平面的夹角分别是θ和α时，汽车和货箱的速度分别是v1、v2。则（） B． C． D．【答案】A【解析】由速度的分解知识可知,即,故选A。例3.甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（）A．甲、乙两球的速度大小之比为B．甲、乙两球的速度大小之比为C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大【答案】B【解析】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为,v2在沿杆方向的分量为,而,图示位置时，有,解得此时甲、乙两球的速度大小之比为选项A错误，B正确；CD．当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项CD错误。故选B。针对训练6.如图所示，一个固定汽缸的活塞通过两端有转轴的杆AB与圆盘边缘连接，半径为R的圆盘绕固定转动轴O点逆时针匀速转动，从而使活塞水平左右移动，已知B点速度大小为v，在图示位置，杆与水平线AO夹角为θ，AO与BO垂直，则此时活塞的速度大小为（）v B．vsinθ C．vtanθ【答案】A【解析】在图示位置时，B点的合速度vB沿切线方向；则B点沿AB杆的分速度为而在AB杆上的A点的合速度为vA，即活塞的速度，如图所示,沿杆方向的分量,而,故选A。例4.轻质细杆下端通过铰链连接在光滑水平面上，上端固定一质量为m的小球，小球可随轻杆在纸面内自由转动。现将小球靠在置于水平面上的木块左侧，并在木块右侧施加水平作用力F，如图所示，小球与木块均保持静止且轻杆与水平面的夹角为θ＝60°，重力加速度为g。(1)求水平作用力F的大小；(2)撤去水平作用力F，当θ＝45°时木块速度为v，求此时小球的速度大小。【答案】(1)；(2)v【解析】(1)对小球分析，受重力、杆的支持力和木块对小球的弹力FN由平衡条件得FN=mgcotθ对木块分析，受重力、地面支持力、水平推力和小球对木块的弹力FN′,由平衡条件得F=-FN′,由牛顿第三定律FN=-FN′,解得(2)撤去水平作用力F后小球做圆周运动，设θ=45°时小球速度为v球，将其沿水平方向和竖直方向分解，则球沿水平方向速度v水平=v球sin45°小球与木块分离前沿水平方向速度相等，即v水平=v解得v球=v针对训练7.如图，长方体物块在光滑水平面上，受水平力F的作用，质量为m的光滑圆球在竖直墙壁和物块间处于静止状态，圆球与物块的接触点P与球心O的连线OP与竖直方向的夹角为α。已知重力加速度大小为g，将力F撤去后，物块向右滑动，当OP与竖直方向的夹角为2α时物块的速率为v，此时圆球与物块尚未分离，则（）A.F=mgtanB.撤去力F前，长方体物块对圆球的支持力大小为mgC.撤去力F后，当OP与竖直方向的夹角为2a时，圆球的速率为vD.撤去力F后，当OP与竖直方向的夹角为2a时，圆球的速率为vtan【答案】AD【解析】AB．撤去力F前，圆球受力如图1所示，则长方体物块对圆球的支持力大小N1=墙壁对圆球的支持力大小N2=mgtanα由系统受力平衡