《正弦定理》课堂教学实录-让爱充满课堂

《正弦定理》课堂教学实录-一让爱充满课堂

为了适用江苏省刚刚实施的新高考新课程新教材的改革，贯彻十九大教育方

针，2021年3月18日，县教育局开展了“县高中数学青年教师优课评比”教研活

动.笔者根据新高考新课程新教材理念对正弦定理这节课的内容进行了设计和实

践，以国家京台高速为背景引入课题，体现爱国、爱家和立德树人教育；以问题链

为导向，体现学生的思维主体和爱思考的数学素养；以鼓励赞美学困生学生的回

答，体现爱满天下的教育情怀，同时提高学生爱思考，爱动手的学习习惯。以下是

本节课教学过程和反思.

一.教学过程

（一）知识回顾

师：上节课我们学习了余弦定理，请问余弦定理的内容是什么？

生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余

弦的积的两倍.即小=/+_2bccosA,bz=c2+a2—2cacosB,c2=a2+

b2—2abcosC.

师：余弦定理是如何用向量的方法证明的呢？

生：由向量等式近-四,两边平方得，BC-BC=（AC-X§＞）-

{AC—AB）=|?1C|2+p2?|2—214clMB|cos4,即小=h2+c2-2bccos4,同理可

222222

得b=c+a-2cacosBfc=a+b—labcosC.

师:余弦定理可以解决哪几种解三角形问题？

生：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

设计意图：引导学生对所学知识回顾，反思余弦定理的掌握情况，同时为后继

知识的学习做铺垫.

（二）情境引入，教师PPT播放京台高铁的动画.

同时播报以下内容：在近期出炉的《国家综合立体交通网规划纲要》中，口明

确要将京台高铁列入2021-2035年建设的国内交通主轴之中，京台高铁再次引发国

人瞩目。京台高铁，编号G3。线路：北京一新竹一台北，全长2030公里.

教师十分激动地说：“同学们你们知道这预示着什么？这预示着祖国已经强

大，台湾必将回归祖国怀抱！国家建设正需要人才，我们要更加努力学习，报效祖

国！”

生：鼓掌...

师：“那么现在我们就来做一些力所能及的事情，由于一些台独分子不让我们

跨过海峡测量福州到新竹这段距离，现在工作人员已经测出了福州到泉州这段距

离，且测量出了图上的两个角，你能计算福州到新竹这段距离吗？”

生：“我添加了辅助线，过A作AD_LBC于D,在RSABD中，AD=80百，在

RSADC中，AC=80痣”

设计意图：情境引入将教学内容和社会热点相结合，利用京台高铁问题来激发

学生的认知，让学生认设到数学来源于生活，服务于生活，从而激发了学生学习数

学的兴趣，将立德树人融入教学环节，厚植了学生的爱国主义情怀.由于问题难度

不大，对学困生来说，能够利用初中知识解决，学困生能够尝试到成功的喜悦，充

分调动了他们的积极性，同时也为正弦定理的证明提供了一种方法

（三）定理证明

师：“刚才问题情境中，我们可以抽象出这样一个数学问题:在AABC中，已知

角A和角B,求b.刚刚是通过作辅助线构造直角三角形求解，我们再探究一下有没

有更直接的公式求解呢？这就是我们今天要学习的正弦定理.”

师：”波利亚说过类比是伟大的领路人，你能类比余弦定理的向量的证明方法得

到三角形中边和角的正弦的关系吗？”

_生”理（乍竺J.B些D,用用曳量色单迩睨=前-AB,两边点用亚，色

BC-AD=（AC-AB）•AD=AC-AD-AB-AD,因为ADJLBC,所以说.而=

0,即0=\AC\\AD\cos^CAD-\AB\\AD\cos^BAD,所以bcos4c4。=ccos^BADt

HpbsinC=csinB,故T—=同理得”

sinBsinCstnAsinB

师：“这种证明方法你是如何想到的？”

生：”数量积得到的是边和角的余弦的关系，而我们要想得到角的正弦，必须

构造三角形中角的余角，所以想到了构造直角三角形，得到了互余的关系

师：“你发现了问题的本质，很好！但对于任一三角形，点D一定落在线段BC

上吗？”

生：“不一定，还要讨论角C为直角或钝角的情况

师：“我们不仅要会证明，还要知道为什么要这样证明.我们知道向量的数量积

是刻画几何中的长度和角的运算.所以通过构造向量的数量积正能得到三角形中的

边和角的关系.”

师：”刚刚的证明方法我们称为向量法，请大家想想还有其它的证明方法吗？”

生：“也是过A作AD_LBC于D,RtAABD,AD=csinB,RtAADC,AD=bsinC,

所以bsinC=csinB,即七=三，同理得七=上.”

sinBsinCstnAsinB

师：“同样的问题，点D一定落在线段BC上吗？”

生：“不一定，还要讨论角C为直角或钝角的情况

师：“这种方法我们成为几何法.”

设计意图:肯定学生的优点，是课堂教学中爱的教育最根本的体现，教学的艺

术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、和鼓舞，让学生得到爱，体会到自己的价

值.教学中教师要及时抓住学生回答问题的切入点，对学生予以肯定和赞许的眼

光，鼓励学生联系知识关联点、生长点，诱发学生对一个数学问题从多方位、多角

度去探索联想，让学生感受到来自教师的爱，加深学生对所学知识的理解，促进学

习有效地进行.

（四）定理理解

由此我们不难发现在三角形中正弦定理，三角形的各边和它所对角的正弦的比

相等，即3=-±_=_J.

sinAsinBsinC

师：“观察式子的结构有何特点？”

生1：“形式具有统一性、对称性，使结果更和谐优美

生2：”突显了三角形边与角的正弦关系的本质

生3：“从方程的角度来看，已知两边和一边的对角，能求另一边的对角；已

知两角及任一边，能求出其它的边.”

设计意图：让学生发现美，引发学生从多个角度理解正弦定理，为后续的应用

做铺垫._____

（五）运用定理

例1.在△ABC中，已知AB=160km,A=75°,B=60°,求AC.

变式；在AABC中，已知ABT60km,AC-200km,B-60°,求C-卜

cat*eiHiet

________________________

设计意图：从提出问题，分析问题，最终解决了问题，前后呼应.例1是直接

利用正弦定理，已知两边和一边的对角，能求另一边的对角，变式是已知两角及任

一边，能求出其它的边.考察学生对定理的选择应用，解决了开始的情景引入.

师：“我们现在已经做了一些力所能及的事情了，我们还要更加努力学好科学

文化知识，为实现中华民族的伟大复兴而奋斗！”举起右手呼吁学生.

生：鼓掌

二.教后反思

1.以问题情境，国家京台高铁。让学生了解了社会热点，贯彻了新高考评价体

系，培养了学生的爱国情怀，落实立德树人的教育方针.习近平总书记在全国教育

大会上提出，要把立德树人融人教育各环节，贯穿教育各领域环节，所以笔者在数

学教学中将立德树人作为根本任务，在厚植爱国主义情怀上下功夫，培养和选拔德

智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.

2.以问题链为导向.引导了学生积极思考并探索知识的形成过程，让学生参与

到重新发现数学的美或创造数学知识的情境中，追溯到要学习和掌握的数学问题的

本质，体验数学学习中发现的艰辛和成功的愉悦，让学生感受到来自教师的爱。

3.以实际问题为背景。解决实际问题，对学生分析问题、解决问题的能力，从

知识应用的成功，感受来自知识的魅力，学习知识的动力。通过变式训练，发展学

生辩证统一的看待问题和解决问题的思路。提高学生爱思考，爱动手的学习习惯，

进而，才能从爱的教育中，收获爱，有爱才更有动力。

总之将爱的教育渗透于课堂教学中，激发学生的爱国主义情怀，感受来自教师

的爱，从爱中收获爱学习，爱自己，才能爱国，爱家。任何一位教师只要他是一位

有心之人，做到这一点是不难的.爱国主义教育是一个永恒的主题，爱国主义教育

同时也是一项千秋伟业.因此