《函数模型的应用(第二课时)》教案

《函数模型的应用（第二课时）》教案教学目标教学目标：1.了解各函数模型的的特点，能根据实际问题的需求，合理选择函数模型解决实际问题；2.准确把握用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程；3.在实际问题的解决过程中，感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模的数学素养.教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程．教学难点：如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟（一）温故知新回顾一下我们曾经用过的函数模型(1)y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提问：我们一起回顾常见函数模型，而在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．设计意图：通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，运用函数模型分析解决实际问题．14分钟例题教学例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数（x）的增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“指数增长”“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔．这里可以提示学生，用数表和图象分别呈现它们的变化趋势，各有优势，数表准确，但对于趋势的刻画并不直观，而图象则可以直观刻画出三者的变化趋势，但从图中并不能准确读出精确数据。让学生学会在不同场景，不同需求下作出正确选择．问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2的基础上，给出本题的完整解答．指数增长用在收入上是好事，但如果是借钱还款的模式，后果不堪设想，提醒学生警惕生活中的陷阱，例如“校园贷”、“套路贷”等骗局，要学会用数学知识保护自己！设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？提示学生注意，题目的两个条件有选择的先验证，即不能超过五万；要让学生从思想的角度给出判断和理由，因为这也是在处理实际问题时必须要关注的一件事，先验证比较容易实现的，或者可以快速筛选下去不符合条件的选项．问题3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？师生活动：教师可以在学生思考问题3的基础上，提出追问中的问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转化．问题4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？在给出解答这个环节要注意方法的选择，有的可以通过直接计算得出结论，有的则需借助趋势判断，有的借助计算工具完成估算，要注意这里的细节处理．特别是第二个条件的验证，中间包含了很多数学问题的等价转化策略，如何利用函数性质和信息技术配合论证等，这些对于处理复杂的实际问题都有指导意义，注意挖掘．追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？（2）能否给出本题的解答过程？师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题．5分钟（三）课堂练习1．为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是______________．②2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C3．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)D设计意图：考查根据题目条件，选择和求解函数模型刻画实际问题的变化规律．3分钟（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：通过解答以上两道例题的实际问题，并结合上节课的所学内容，你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？用框图将本节课内容多归纳总结设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力．布置作业：课后练习．课后篇巩固提升合格考达标练1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.2.有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-12 D.答案C解析当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124选项C中的V=42-12选项D中的V=2×4-2=6,故选C.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.7答案BC解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)4.(2021福建福州三中高一期末)地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量与里氏5.0级地震所释放的能量的倍数是()A.lg4.5倍 B.4.510倍C.450倍 D.104.5倍答案D解析设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为E1和E2,则lgE1=4.8+1.5×8,lgE2=4.8+1.5×5,所以lgE1E2=lgE1-lgE2=则E1E2=104.5,即E1=104.5E2.5.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2000ln1+Mm.若火箭的最大速度为9240km/s,则Mm≈()(参考数值:e4.62≈101)A.1100 B.C.10 D.100答案D解析由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2000ln1+Mm,可得v=2000ln1+Mm=9240,即ln1+Mm=92402000=4.62,所以1+Mm=e4.62≈101,可得Mm=1006.已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5h,1个病毒能繁殖个.

答案2ln21024解析当t=0.5时,y=2,∴2=e12k,∴k=∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过h才能开车(结果精确到1h,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).

答案2解析设经过nh后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg23=lg2-lg将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要经过2h才能开车8.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,n∈N*,当y=4000时,有32n=10,两边取对数可得n(lg3-lg2)=1,∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.等级考提升练9.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为()A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨答案B解析因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).故选B.10.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2W/m2,声强级为68dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5W/m2,声强级为55dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m2答案B解析由题意可知1解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故选B.11.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是()A.2006年底人类知识总量是2aB.2009年底人类知识总量是8aC.2019年底人类知识总量是213aD.2020年底人类知识总量是218a答案BCD解析2006年底人类知识总量为a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量为a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a×25=218a,故D正确.故选BCD.12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位,1ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.

答案14解析∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级/里氏5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=algx+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg2≈0.3进行计算)

答案2解析由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以5②-①,得0.2=alg3.2×10191.所以a=0.14.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3其中所有正确的叙述是.(填序号)

答案①③解析由图象可得,当t=2时,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=234=1681第一个月的减少量为1-23第二个月的减少量为23−232=2③由已知23t1=12,23t2=14,2315.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23,设水过滤前的量为1,过滤次数为