《两角和与差的正弦-余弦和正切公式(第二课时)》教案

《两角和与差的正弦，余弦和正切公式（第二课时）》教案教学目标教学目标：以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角和与差的正弦，余弦及正切公式，熟记公式，掌握公式的功能及其结构；初步应用这些公式，在引导学生进行观察，比较确定差异，寻找联系及联系的途径的过程中，帮助学生认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，发展学生数学运算素养；提升学生思维的有序性，逐步培养良好的思维习惯，发展学生逻辑推理素养，培养数学整体观．教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其功能、结构、简单应用．利用已知的函数模型解决实际问题.教学难点：两角和与差的三角函数与圆旋转对称性间的联系及对公式的全面理解．教学过程时间教学环节主要师生活动１分钟８分钟９分钟３分钟１分钟新课引入新课讲解例题讲解课堂小结作业一新课引入上节课我们利用圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式，请同学们在回顾推导过程的基础上写出差角的余弦公式此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系．二新课讲解问题１由两角差的余弦出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？追问1：比较与，它们的异同点是什么？它们都是角的余弦，只是角的形式不同．追问２：与之间有何种联系呢？一方面从运算的角度看，将加法转化为减法：；另一方面可以从换元角度考虑，将两角差的余弦公式中的换为．追问３：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？．问题２你能根据两角和与差的余弦公式推导出用任意角，的正弦、余弦表示的及公式吗？追问1：比较与，它们的异同点是什么？它们包含的角相同，但是函数种类不同．追问2：角的正弦与余弦是否可以建立联系呢？通过诱导公式五（或六）可以实现正弦与余弦的互化．追问3：诱导公式五及诱导公式六是什么呢？，，，．追问４：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角差的正弦公式？追问５：依照上述解决问题的思路，你能直接写出两角和的正弦公式吗？问题３你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的正弦，余弦公式出发，推导出用任意角，的正切表示，的公式吗？追问１：如何用正弦函数、余弦函数表示正切函数？．追问２：:两角和的正切公式是否可以利用两角和的正弦公式与余弦公式求得？．追问３：如何进一步转化为用任意角，的正切表示？通过对分子、分母同时除以转化，即追问4：如何用任意角，的正切表示？教师小结： 用逻辑推理的方法我们以两角差的余弦公式为基础，将两角差的余弦公式中的换为或者利用得到两角和的余弦公式．利用诱导公式五（或六）建立余弦与正弦的关系，得到；进而类似的得到．利用正切函数与正弦函数与余弦函数的联系得到；同学们要逐步掌握公式的功能及其结构，熟记公式．公式，，给出了任意角，的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，，，都叫做差角公式．问题４如何利用利用两角和与差的正弦公式求的值呢？问题５和（差）角公式中，，都是任意角．如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？请同学们课下思考．三例题讲解例３已知，是第四象限角，求，，的值．问题６根据题目已知条件，求解的值会联系到什么公式？联系到两角差的正弦公式．追问１：本题利用两角差的正弦公式求解时两角分别是什么？及．追问２：在求解过程中需要用到及哪些三角函数值？哪些值需要根据已知进一步求解？需要用到，，，四个值，需要根据已知条件进一步求解．解：由，是第四象限角，得所以．于是有追问３：如果去掉已知条件中给出的“是第四象限角”这一限制条件，对求解过程和结果会有什么影响？由于，是第三象限或第四象限角，去掉这一限制条件后要分类讨论，当是第三象限的角时，．结果为．追问４：能否借鉴第（1）问经验求解第（2），（3）问？追问5：由以上解答可以看到，在本题条件下有．那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你能予以证明吗？这一计算结果具有一般性，对于任意角，成立．例４利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）问题７和、差角公式把的三角函数式转化成了的三角函数式．本题呈现的为的三角函数式，如何求解呢？我们可以尝试从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．（1）追问1：在（1）中涉及了哪些角？涉及了两个角：及．追问２：（１）式的形式能联系到哪个公式？能够联系到两角差的正弦公式．解：由上述分析有追问３：根据第（1）问的经验，能否独立解决第（2）问？（2）中涉及了两个角：及，能够联系到两角和的余弦公式，于是有追问４：能够联系到哪个公式？形式与两角和的正切公式相似，但是只涉及了一个角．追问５：回顾例3求解过程能否有启发？可以考虑把转化为，利用两角和的正切公式求解．解：四课堂小结本节课我们以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角和与差的正弦，余弦及正切公式．问题８你能准确写出这些公式吗？；；；；；同学们要熟记公式，掌握公式的功能及其结构．在应用这些公式时要注意进行观察，比较确定差异，在寻找联系及联系的途径的过程中，认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，提升思维的有序性，逐步培养良好的思维习惯，发展数学运算素养．利用和差角公式，求下列各式的值：（１）；（２）；（３）；（４）．２．（１）已知，是第二象限角，求的值；（２）已知，是第三象限角，求的值；（３）已知，求的值．３.求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos16°cos44°-cos74°sin44°的值为()A.32 B.-32 C.12 D答案C解析cos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12,故选C2.化简:sinx+π3+sinx-π3=()A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx答案B解析sinx+π3+sinx-π3=12sinx+32cosx+12sinx-32cosx=sin3.若sinπ6-α=cosπ6+αA.-1 B.0 C.12 D.答案A解析由已知得12cosα-32sinα=32cosα-12sinα,因此1-32sinα=3-12cos4.(2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tanα-3π4=23,则tanα=(A.15 B.-C.5 D.-5答案B解析tanα-3π4=tanα-tan3π41+tanα·tan5.(2021天津和平高一期末)已知tanA=2tanB,sin(A+B)=14,则sin(A-B)=(A.13 B.14 C.112 D答案C解析由tanA=2tanB得sinA即sinAcosB=2cosAsinB,∵sin(A+B)=14,∴sinAcosB+cosAsinB=1得sinAcosB=16,cosAsinB=1则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=16−1126.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ=答案0解析由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=45,cosαcosβ+sinαsinβ=-45,两式相加得2cosαcosβ=0,故cosαcosβ=7.化简:sin(α-150答案-1解析原式=sin=-32sin8.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);(3)cos21°·cos24°+sin159°·sin204°.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-32(3)原式=cos21°cos24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24°=cos(21°+24°)=cos45°=22等级考提升练9.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan2α=(A.16 B.2213 C.322 答案D解析tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(10.设α∈0,π2,β∈0,π2,且tanα=A.3α-β=π2 B.3α+β=C.2α-β=π2 D.2α+β=答案C解析由tanα=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sinαcosβ-cosαsinβ=cos又α∈0,π2,β故α-β=π2-α,即2α-β=π11.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-π6=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+π6=()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析因为α-π6+β+π6=α+β,所以tan(α+β)=tanα-π6+β+π6=tan(α-π6)+tan(β+π6)1-tan(α-π6)tan(β12.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=33,tan2B=tanA·tanC,则角B等于()A.30° B.45° C.120° D.60°答案D解析由公式变形得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=tan(180°-C)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,∴tanA+tanB+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=33.∵tan2B=tanAtanC,∴tan3B=33,∴tanB=3,则B=60°.故选D.13.(多选题)下面各式中,正确的是()A.sinπ4+π3=sinπ4cosB.cos5π12=22sinπC.cos-π12=cosπ4cosπD.cosπ12=cosπ3-答案ABC解析∵sinπ4+π3=sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=sinπ4cosπ3+32cosπ4,∴A正确;∵cos5π12=-cos7π12=-cosπ∵cos-π12=cosπ4−π3=cosπ4cosπ3+6∵cosπ12=cosπ3−π4≠cosπ3-cosπ414.(多选题)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式正确的是(A.A+B=2C B.tan(A+B)=-3C.tanA=tanB D.cosB=3sinA答案CD解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)=3,∴选项A,B错误;∵tanA+tanB=3(1-tanA·tanB)=23∴tanA·tanB=13,①又tanA+tanB=233,∴联立①②解得tanA=tanB=33∴cosB=3sinA,故选项C,D正确.15.已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则tan(α+β)=,α+β=.

答案-13解析因为(tanα-1)(tanβ-1)=2,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1.因此tan(α+β)=tanα+tan因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π16.若cosα=-13,sinβ=-33,α∈π2,π,β∈3π2,2π,则sin(α+β)的值为.答案5解析∵cosα=-13,α∈π2,π,∴sinα=1-cos2α=223.∵sinβ=-3∴cosβ=1-∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=223×63+-13×-3317.已知α,β均为锐角,且tanβ=cosα-sinαcosα解tanβ=cosα-sinα因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0又y=tanx在-π2所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=新情境创新练18.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的取值范围是.

答案[8,+∞)解析由已知条件sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=2sinB