《集合间的基本关系》教案

《集合间的基本关系》教案教学目标教学目标：（1）初步理解集合之间的包含与相等的含义；（2）能识别给定集合的子集和真子集，了解空集含义；（3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，突出严谨的思考，逻辑的表达，提升数学抽象素养．教学重点：集合之间的包含与相等包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示．教学难点：集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解．教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟（一）温故知新问题1：从一个题目的不断追问，让学生主动回顾前一节课的内容，再自然引出今天的主题．上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题，用什么方法研究？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“实数”，然后引导学生回顾实数研究了哪些内容，如实数间的关系、实数的运算等；最后确定集合的研究问题，集合间的关系，集合的运算．设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助于学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比实数关系、联想集合关系，提出要研究的问题．5分钟（二）概念的讲解问题2：阅读教科书第7页“观察”，类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集合之间有哪些关系？师生活动：学生独立观察，充分思考，讨论交流．根据学生交流讨论情况，教师可以适时的选择以下问题进行追问．追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系来分析每组两个集合间的关系．）（2）请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点．（在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素．）（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？（不同之处是前两组集合中，集合B中有的元素属于集合A，有的元素不属于集合A；第三组集合中，集合A中的任意一个元素都属于集合B，反过来集合B中任意一个元素也都属于集合A．）师生活动：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系．设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机．5分钟（三）概念的理解问题3：阅读教科书第7页“观察”之后至第8页“思考”之间的内容，你有什么疑问？师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己感到困惑的问题．教师根据学生的回答情况，可以选择以下问题进行追问．追问：（1）举几个具有包含关系相等关系的集合，并用符号语言和Venn图表示．（2）子集和真子集的区别与联系是什么？（3）什么是空集？举几个空集的例子．（4）与实数中的结论“若，则”相类比，你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？师生活动：教师根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对给你的理解，比如集合是否为空集等例子．根据追问的问题（4），教师可以引导学生活动教科书第8页的两个结论．设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言，符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子抽象概念具体化，深入理解概念．5分钟（四）概念的巩固应用例1写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集．师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类．例2判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：（1），；（2），．师生活动：学生判断，教师给出解答示范．设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间的关系的基本方法——定义法．练习：教科书第8页练习1，2，3．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．2分钟（五）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）两个集合之间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？（2）你是如何研究合集合间的基本关系的？（3）包含关系与属于关系有什么区别？比如与？用框图将本节课内容多归纳总结设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小节．布置作业：教科书习题1.2第2，3，4，5题．课后篇巩固提升合格考达标练1.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5} B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0} D.{x∈R|x2+x+1=0}答案D解析A,B,C分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∵x2+x+1=0无实数解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.2.(多选题)下列说法中,错误的是()A.空集没有子集B.任何集合至少有两个子集C.空集是任何集合的真子集D.若⌀⫋A,则A≠⌀答案ABC解析A错,空集含有本身一个子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.3.(2021四川仁寿高中高一期中)集合A={2018,2019,2020}的非空真子集有()A.5个 B.6个 C.7个 D.8个答案B解析集合A={2018,2019,2020}的非空真子集有23-2=6(个).故选B.4.(2021黑龙江东部地区八校高一期中)已知集合A={x∈N|x2-2<0},则以下关系正确的是()A.2∈A B.0∉AC.{0,1}⊆A D.{-1,1}=A答案C解析由题意得集合A={0,1}.2∉A,故A不正确;0∈A,故B不正确;{0,1}⊆A,集合是它自身的子集,C正确;由于集合A={0,1},故{-1,1}≠A,D不正确.故选C.5.(多选题)(2021湖南五市十校高一联考)已知单元素集合M={1},则集合M的所有子集构成的集合N={⌀,{1}},下列表示正确的是()A.⌀∈N B.⌀⊆NC.⌀=N D.⌀∉N答案AB解析根据题意,集合N={⌀,{1}}中的元素有2个,即⌀和{1},⌀是集合N的元素,则⌀∈N,A正确,D错误,对于B,⌀是任何集合的子集,则⌀⊆N,B正确,C错误,故选AB.6.(2021山东潍坊四县高一联考)已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B⊆A,则m的取值范围是()A.{m|m≤2} B.{m|-1≤m≤3}C.{m|-3≤m≤1} D.{m|0≤m≤2}答案A解析当B≠⌀时,要满足B⊆A,只需1-m≥-1,当B=⌀时,只需1-m>1+m,解得m<0.综上,m的取值范围为{m|m≤2}.故选A.7.已知集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=.

答案2解析由B⊆A,且m2≥0,得m2=4m-4,解得m=2.经检验,符合题意.8.下列各组中的两个集合相等的所有序号是.

①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},Q=xx=1+(-1)n2,n∈答案①③解析①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x=1+(-1)n2=0;当n为偶数时,x=1+(-19.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.解存在.理由如下,因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.等级考提升练10.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)yx=1,则集合A,B间的关系为()A.A⫋B B.A⫌BC.A=B D.A⊆B答案B解析由题得,B=(x,y)yx=1={(x,y)|y=x,且x≠0},故可得B⫋A.11.已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6-a∈M,那么集合M的个数为()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析由题知a∈M,6-a∈M,且M⊆{1,2,3,4,5},∵当a=1时,6-a=5∈M;当a=2时,6-a=4∈M;当a=3时,6-a=3∈M;当a=4时,6-a=2∈M;当a=5时,6-a=1∈M,∴非空集合M可能是{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.12.(多选题)(2021江苏盐城中学高一期中)已知集合A={x|ax≤1},B={2,2},若B⊆A,则实数a的值可能是()A.-1 B.1 C.-2 D.2答案AC解析当a=0时,A=R,符合题意;若a>0,由题意可得A=xx≤1a,若集合B为集合A的子集,则1a≥2,解得0<a≤12,若a<0,由题意可得A=xx≥1a,因为1a<0,则集合B必为集合A的子集.故选AC.13.(2020浙江高一检测)已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q⊆P,那么-3P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为.

答案∈{1,-1,0}解析P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},所以-3∈P.Q={x|ax=3},若Q⊆P,则当a=0时,Q=⌀,满足题意;当a≠0时,Q={x|ax=3}=x|x=3a,则3a=3或-3,解得14.设a,b∈R,集合{0,ab,a}={1,a-b,b},则a+b=.

答案-2解析由题意,若a-b=0,则ab=1或a=1.若ab=1,可得a2=1,解得a=±1,当a=1时,由a=b,得到b=1,不符合题意;当a=-1时,由a=b,得到b=-1,符合题意;若a=1,则a=b,得b=1,不符合题意;若b=0,则ab=0,不符合题意.综上,a=b=-1,则a+b=-2.15.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.解(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需m+1≥-2,2m-1≤5,可得2≤m(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},∴A的非空真子集个数为28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.②若B≠⌀,则要满足条件:m+1≤2m-1综上,实数m的取值范围是{m|m<2,或m>4}.新情境