《充分条件与必要条件(第二课时)》教案

《充分条件与必要条件（第二课时）》教案教学目标教学目标：理解什么是充要条件，理解充要条件的含义；通过对初中定理的再认识，理解充要条件和数学定义之间的关系；体会常用逻辑用语在表达数学内容上的作用，逐步提升逻辑推理素养.教学重点：理解充要条件的含义，体会充要条件与充分条件，充要条件与必要条件的关系.教学难点：理解充要条件与数学定义之间关系，能用数学语言证明充要条件.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟引入教师：提出思考问题，下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;2、若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等;3、若一元二次方程ax2+4、若A∪学生先认识逆命题，再在教师引导下将命题拆解为语句p与语句q，将原命题写为“若p，则q”，逆命题写为“若q，则p”的形式，并判断原命题和逆命题的真假.学生思考，阐述自己的认识.并给出判断依据，得出结论.2分钟概念教学通过思考题，教师引导学生发现命题1、4的原命题和逆命题都是真命题.在此基础上理解什么是充要条件，总结得出充要条件的概念.定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.读作p等价于q.此时p既是q5分钟概念解读例3：下列各命题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；（2）p:两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0，q:x>0，y>0（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q对于命题1，由于四边形的对角线互相垂直平分只能推出四边形是菱形，不能推出四边形是正方形，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件；p是对于命题2，两个三角形相似，可以由相似三角形性质定理推出两个三角形三边成比例.反之，由两个三角形三边成比例也可以推出两个三角形相似，这是相似三角形的判定定理，所以命题2中p是q的充要条件.对于命题3:由xy>0，不仅能推出x>0时y>0，还可以推出x＜0时y＜0，所以p⇏q对于命题4，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，将x=1代入方程得到a+b+c=0a≠0；反之如果a+b+c=0a≠0那么当注意：通过例题，引导学生总结，判断p是q的充要条件，需要我们判断命题是否既有p⇒q，又有q⇒p.所以我们既要判断“若p，则q”是否为真，又要判断“若q，则p”是否为真.p⇒q，q⇒p，p是q的充要条件；p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；p⇏q，q⇒p，p是q3分钟巩固练习练习：下列各组命题中，p是q的什么条件？（请用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答）（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；（2）p：一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，q（3）p:x>y，q:x2（4）p:x>0，q：x问题1中由于语句p不能推出语句q，语句q可以推出语句p，所以p是q的必要不充分条件；问题2中由于语句p能推出语句q，语句q也可以推出语句p，所以p是q的充要条件；问题3由于语句p不能推出语句q，语句q不能推出语句p，所以p是q的既不充分也不必要条件；问题4由于语句p能推出语句q，语句q不能推出语句p，所以p是q的充分不必要条件.8分钟探究思考提问学生：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？学生思考并回答.注意：通过问题，结合以往的学习经验，发现“四边形的两组对边分别平行”，“四边形的一组对边平行且相等”，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的对角线互相平分”，均是“四边形是平行四边形”的充要条件.说明充要条件并不唯一.上面四条都可以作为平行四边形的定义，而这些新的定义方式，分别从不同的侧面刻画了平行四边形.使学生进一步理解定义与充要条件之间的关系.8分钟能力提升例4：已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为求证：d=r是直线分析：证明分为两个部分，我们把充分性的证明和必要性的证明分开.这样便于理清证明思路.设p:d=r，q:直线（1）先来证明充分性：如图，做OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在直角三角形OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆O外部，即直线l（2）再来证明必要性：若直线l与圆O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此d=OP综合（1）（2）可得，d=r是直线l与圆O相切的充要条件.注意：通过例题，学习充要条件的证明方法，要证明两个命题是否为充要条件关系，需要我们将问题分为充分性的证明和必要性的证明两个部分分别进行，这样既有利于思考清晰，又有利于书写清楚.结合实际问题进一步体会充要条件的含义.在解决问题的过程中注意指导学生学习数学语言的表达方法，进一步强调将命题拆分为“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的形式再判断真假.同时认识到充要条件是进行等价转化的机遇.1分钟总结新知最后我们一起来总结一下本节课的学习内容：1、对于语句p和语句q，如果p⇒q，q⇒p，那么p是2、判断充要条件的过程是将原命题改写成逆命题，再判断原命题和逆命题是否为真；3、证明充要条件要关注两个方面，既要证明充分性，又要证明必要性；4、体会充要条件和定义间的关系;5、认识到在推理证明中充要条件是进行等价转化的重要机遇.课后篇巩固提升合格考达标练1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件答案B解析若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案A解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.4.(2021山西运城高二期末)“a>1,b>1”是“ab>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析“a>1,b>1”⇒“ab>1”,反之不成立,例如取a=12,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.故选A5.(多选题)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是()A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件答案ABD解析A正确,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;B正确,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;C错误,Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;D正确,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根.故选ABD.6.(2020重庆高一检测)已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.

答案{m|m>2}解析因为q是p的必要不充分条件,即p⫋q,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{m|m>2}.7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.等级考提升练8.已知实数a,b,c,则b2=ac是ab=bA.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由ab=bc可得b2=ac,反之不成立,如b=c=0时,满足b2=ac,但ab=bc不成立,故b29.(2021安徽合肥一六八中学高一期末)若ab>0,则a<b是1a>1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析当ab>0时,1a−1b=b-aab,当a<b时,b-a>0,则1a−1b=b-aab>0,即1a>110.已知命题p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,则p是q的()A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件答案B11.(2021广东深圳宝安高一期末)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析∵A⊆C,B⊆(∁UC),即A⊆C且B∩C=⌀,∴A∩B=⌀.则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的充分条件.当A∩B=⌀,存在一个集合C=A使得A⊆C,B⊆(∁UC),则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的必要条件.故“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁UC)”是“A∩B=⌀”的充要条件.故选A.12.(多选题)(2021广州二中高一月考)对任意实数a,b,c,下列说法错误的是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件答案ACD解析由a>b,若c≤0,则ac≤bc,因此“ac>bc”不是“a>b”的必要条件,故A不正确;由a=b,可得ac=bc,反之不成立,因此“ac=bc”是“a=b”的必要条件,故B正确;由“ac>bc”,若c<0,则a<b,因此“ac>bc”不是“a>b”的充分条件,故C不正确;由“ac=bc”,若c=0,则“a=b”不成立,因此“ac=bc”不是“a=b”的充分条件,故D不正确.故选ACD.13.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.

答案{a|a≤0}{a|a≥0}解析因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.14.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=a-b22所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a