双极值点问题+讲义-2026届高三数学一轮复习

双极值点问题对于双极值点问题，其解决办法与极值点问题类似，往往需要把双变量问题转化为单变量问题。与极值点偏移转化为单变量的方法相比，双极值点问题更加简单一些，一般是通过韦达定理进行合理消元，最终转换成单变量函数，最后通过构造函数解决问题。其核心思想是统一变量，化成单变量表达式，这个单变量可以是，，，或者是函数解析式中的参数等。极值点（拐点）偏移已知函数在有两个极值点，（），求证：证：法一：，，可知，是在上的零点，所以，，两式相除可得，令①上式变为，即②联立①②可得，要证明，只要证明即证明令，则令，故在上单调递增故，即故在上递增，故即成立，故原不等式得证在证明的过程中，也可以考虑“对数靠边走（单身狗）”，避开二次求导，如下：法二：要证，只需证明令，，则所以在上递增所以，即成立故原不等式得证已知函数当时，设函数的最小值为，证明：若函数有两个极值点，（），证明：解：（1），令，解得在上递减，在上递增所以所以令，则，，所以所以当时，（2），则，又有两个极值点，所以，，且所以在上递增，在上递减则当时，，又，所以所以令，，所以在上递增，在上递增，注意到，所以即，所以比值代换已知函数（、），若函数有两个极值点、，且，求的取值范围解：有两根、，即，易知，两式相除，得，令，则，得令，则设，则所以在上递减，即所以在上递减，又，所以而，令，，在上递增，所以，所以，即已知函数在定义域内有两个不同的极值点求的取值范围；设两个极值点为、，，证明：解：（1），令，则在上有两个变号零点由可知当时，恒成立，在上递减，不符合题意，舍；当时，可知在上递增，在上递减故要满足题意，必有（2）证：、为的两根，所以，即，两式相减得所以同理可得故要证，只需证明，即证即证构造函数，其中由所以在上递减，，得证即成立已知函数若在上为单调函数，求的取值范围；若，记的两个极值点为、，记的最大值与最小值分别为、，求的值解：（1）法一：分类讨论因为在上为单调函数，且在上不恒成立，所以在上恒成立①当，即时，显然恒成立；②当，即时，成立，解得经检验可知，当时符合题意综上，法二：分离参数对任意恒成立，可知（2）、是方程的两实根，则有，，则令，不妨设，则原式=由，，且，，解得令，，则令，，则恒成立所以，所以恒成立故，所以已知函数若在其定义域内不是单调函数，求的取值范围；若函数存在两个极值点、，且.设，不等式恒成立，求的取值范围解：，考虑函数与的位置关系当时，与有唯一交点，设为则在上递减，在上递增，符合题意当时，设过原点且与的图象相切的直线的斜率为，设切点为，则又，即，解得，则又当时，恒成立，在上递减，不符合题意所以综上，（2）由，得由（1）可知、是方程的两根，即恒成立，等价于恒成立因为，，所以又因为，即所以即令，，则不等式对任意恒成立令则当时，，则所以在上递增，，符合题意；当时，若，则若，则所以在上递增，在上递减又因为所以在时不能恒小于0，不符合题意，舍综上，，又，所以已知讨论的单调性；若，且有两个不同的极值点、，且.求证：（i）；（ii）（1）解：，，①当时，，在上递增②当时，在上递减，在上递增综上（2）证：①因为所以，有两个不同的极值点、，则、是方程的两根由，得，且，，结合，可得法一：由，得，所以法二：零点存在性定理设因为，，由零点存在性定理，得②由，得设则故在上递减，所以已知函数，若存在两个极值点、，证明：证：若函数存在两个极值点，则方程的判别式，即且，，其中，由所以，设，则，令，得在上递减，在上递增所以，即已知函数若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程；若函数在定义域内有两个极值点、，求的取值范围，并证明：（1）解：（2）证：因为由题意，方程在上有两个不等实根、，所以又令，则令，由得因为，所以在上递减即已知函数，若函数在处的切线斜率为，求的值；若函数有两个极值点、，求证：解：（1）（2），若，即时，，递减区间为，无递增区间；若，即时，递减区间为，，递增区间为所以当时，有两个极值点、，且，因为要证只需证构造函数则在上递增，又，又零点存在性定理，在上有唯一实根，且则在上递减，在上递增当时，，则所以恒成立所以则练习已知函数若函数在上为增函数，求的取值范围；若函数有两个不同的极值点、，且，证明：（1）解：，因为在上为增函数，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，即，（2）证：，、是方程的两根，则直线与的图象有两个不同的交点，所以，要想证，因为，只需证，即证可知，，即，则已知函数讨论的单调性；若有两个极值点、