（人教版）必修第一册高一物理同步讲练测专题2.4专题拓展 匀变速直线运动规律的推论及应用（讲）（解析版）

专题2.4专题拓展----匀变速直线运动规律的推论及应用【讲】一．讲核心素养1.熟练掌握匀变速直线运动的位移差公式的应用。2.熟练掌握匀变速直线运动的平均速度公式、时间和位移中点公式的应用。3.熟练掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例式的应用。二．讲考点与题型【考点一】匀变速直线运动公式的比较与选择1.匀变速直线运动基本公式的比较：一般形式特殊形式(v0＝0)不涉及的物理量速度公式v＝v0＋atv＝atx位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2x＝eq\f(1,2)at2v位移、速度关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2axv2＝2axt平均速度求位移公式x＝eq\f(v0＋v,2)tx＝eq\f(v,2)ta2.应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤：(1)分析运动过程：认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要时要画出物体运动的过程示意图。(2)明确题目条件：明确研究过程的已知量和待求量，搞清题目的条件，要注意各量单位的统一。(3)规定正方向：一般取初速度v0的方向为正方向，从而确定已知量和未知量的正负。对于无法确定方向的未知量，可以先假设为正方向，待求解后，再根据正负确定所求物理量的方向。(4)列出方程：根据物理量特点及求解需要选择适当的公式列方程。(5)计算判断：计算结果并判断其是否符合题意和实际情况。3．逆向思维法的应用：匀减速直线运动逆向可看成匀加速直线运动，特别是对于末速度为零的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v＝at，x＝eq\f(1,2)at2，计算更为简洁。【例1】一滑雪运动员从85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？【答案】25s【解析】解法一：利用速度公式和位移公式求解由v＝v0＋at得5m/s＝1.8m/s＋at由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得85m＝1.8m/s×t＋eq\f(1,2)×at2联立解得a＝0.128m/s2，t＝25s解法二：利用速度与位移的关系公式和速度公式求解由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax得a＝eq\f(v2－v\o\al(2,0),2x)＝0.128m/s2由v＝v0＋at得t＝eq\f(v－v0,a)＝25s解法三：利用平均速度求位移的公式求解由x＝eq\f(v0＋v,2)t得t＝eq\f(2x,v0＋v)＝eq\f(2×85,1.8＋5)s＝25s【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念与科学思维。【规律总结】巧选运动学公式的基本方法(1)如果题目中无位移x，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at。(2)如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2。(3)如果题目中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax。(4)如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)。【变式训练】一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s，试求：(1)4s末的速度．(2)运动后5s内的位移．(3)第5s内的位移．【答案】(1)4.8m/s(2)15m(3)5.4m【解析】(1)滑块的加速度：a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(6－0,5)m/s2＝1.2m/s24s末的速度：v4＝at′＝1.2×4m/s＝4.8m/s.(2)法一：由x＝eq\f(1,2)at2得：x＝eq\f(1,2)×1.2×52m＝15m.法二：由x＝eq\f(v0＋v,2)·t得：x＝eq\f(0＋6,2)×5m＝15m.法三：由v2＝2ax得：x＝eq\f(v2,2a)＝eq\f(62,2×1.2)m＝15m.(3)法一：第5s内的位移等于前5s内的位移减去前4s内的位移：Δx＝x－eq\f(1,2)at′2＝15m－eq\f(1,2)×1.2×42m＝5.4m.法二：Δx＝eq\f(v4＋v,2)Δt＝eq\f(4.8＋6,2)×1m＝5.4m.法三：由v2－veq\o\al(2,4)＝2a·Δx得：Δx＝eq\f(v2－veq\o\al(2,4),2a)＝eq\f(62－4.82,2×1.2)m＝5.4m.【考点二】位移差公式Δx＝aT2的应用1.公式：Δx＝aT2匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等。即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2(如图)。2.推导：第一个时间T内的位移：x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2第二个时间T内的位移：x2＝(v0＋aT)T＋eq\f(1,2)aT2第三个时间T内的位移：x3＝(v0＋a·2T)T＋eq\f(1,2)aT2……第n个时间T内的位移：xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋eq\f(1,2)aT2所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2T为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移。3.应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。(2)求加速度利用Δx＝aT2，可求得a＝eq\f(Δx,T2)。(3)推论：xm－xn＝(m－n)aT2。【例2】一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度、末速度及加速度．【答案】1m/s21m/s2.5m/s2【解析】解法一：基本公式法如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2x2＝vA·2T＋eq\f(1,2)a(2T)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(vAT＋\f(1,2)aT2))vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入以上三式，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.解法二：平均速度法连续两段相等时间T内的平均速度分别为eq\x\to(v)1＝eq\f(x1,T)＝eq\f(24,4)m/s＝6m/s，eq\x\to(v)2＝eq\f(x2,T)＝eq\f(64,4)m/s＝16m/s且eq\x\to(v)1＝eq\f(vA＋vB,2)，eq\x\to(v)2＝eq\f(vB＋vC,2)，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝eq\f(vA＋vC,2)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)＝eq\f(6＋16,2)m/s＝11m/s解得vA＝1m/s，vC＝21m/s加速度为a＝eq\f(vC－vA,2T)＝eq\f(21－1,2×4)m/s2＝2.5m/s2.解法三：逐差法由Δx＝aT2可得a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(64－24,16)m/s2＝2.5m/s2又x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2，vC＝vA＋a·2T联立解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念及科学思维。【规律方法】速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．(4)图像法，通过画v­t图像求解．【变式训练1】—个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5m/s，第9s内的位移比第5s内的位移多4m，则该质点的加速度、9s末的速度和质点在9s内通过的位移分别是()A.a＝1m/s2，v9＝9.5m/s，x9＝45mB.a＝1m/s2，v9＝9m/s，x9＝45mC.a＝1m/s2，v9＝9m/s，x9＝0.5mD.a＝0.8m/s2，v9＝1.7m/s，x9＝36.9m【答案】A【解析】由x9－x5＝4aT2解得a＝eq\f(x9－x5,4T2)＝eq\f(4,4×12)m/s2＝1m/s2，第9s末的速度v9＝v0＋at＝0.5m/s＋1×9m/s＝9.5m/s，质点在9s内通过的位移x9＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝0.5×9m＋eq\f(1,2)×1×92m＝45m，选项A正确。【针对训练2】(多选)一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移是2m，第4s内的位移是2.5m，那么以下说法正确的是()A.第2s内的位移是2.5mB.第3s末的瞬时速度是2.25m/sC.质点的加速度是0.125m/s2D.质点的加速度是0.5m/s2【答案】BD【解析】由Δx＝aT2，得a＝eq\f(x4－x3,T2)＝0.5m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2s内的位移x2＝1.5m，A、C错误，D正确；设第3s末的瞬时速度为v3，由位移与时间关系式x4＝v3T＋eq\f(1,2)aT2得v3＝eq\f(x4－\f(1,2)aT2,T)＝2.25m/s，B正确。【考点三】平均速度、中间时刻和位移中点的速度1.中间时刻的速度与平均速度的关系：eq\o(v,\s\up6(－))＝veq\s\do9(\f(t,2))(1)推导：平均速度的定义式为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)匀变速直线运动的位移与时间关系式为x＝v0t＋eq\f(1,2)at2则eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋a·eq\f(t,2)＝veq\s\do9(\f(t,2))(2)结论：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度。2.初、末速度与平均速度的关系：eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)。(1)推导：平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋a·eq\f(t,2)＝eq\f(2v0＋at,2)＝eq\f(v0＋（v0＋at）,2)＝eq\f(v0＋v,2)。(2)结论：匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度和的一半。(3)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)只适用于匀变速直线运动。对于非匀变速直线运动，只能用平均速度的定义式eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)求解。3.中间时刻与位移中点的瞬时速度比较(1)做匀变速直线运动的物体，在中间时刻的速度为veq\s\do9(\f(t,2))＝eq\f(v0＋v,2)。(2)做匀变速直线运动的物体，在运动一段位移中点的瞬时速度为veq\s\do9(\f(x,2))＝eq\r(\f(veq\o\al(2,0)＋v2,2))。(3)不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有veq\s\do9(\f(x,2))>veq\s\do9(\f(t,2))，证明如下：分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度—时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出eq\f(t,2)时刻的位移不到总位移的eq\f(1,2)，因此位移为总位移eq\f(1,2)的时刻teq\s\do9(\f(x,2))>eq\f(t,2)，则veq\s\do9(\f(x,2))>veq\s\do9(\f(t,2))；由图乙可知teq\s\do9(\f(x,2))<eq\f(t,2)，所以veq\s\do9(\f(x,2))>veq\s\do9(\f(t,2))。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有veq\s\do9(\f(x,2))>veq\s\do9(\f(t,2))。]【例3】一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：(1)火车的加速度大小a；(2)火车中点经过此路标时的速度大小v；(3)整列火车通过此路标所用的时间t。【答案】(1)eq\f(veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1),2l)(2)eq\r(\f(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2),2))(3)eq\f(2l,v1＋v2)【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l速度变为v2，所求的v是经过eq\f(l,2)处的速度，其运动简图如图所示。(1)由匀加速直线运动的规律得veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1)＝2al，即a＝eq\f(veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1),2l)。(2)前一半位移为eq\f(l,2)，v2－veq\o\al(2,1)＝2a·eq\f(l,2)后一半位移为eq\f(l,2)，veq\o\al(2,2)－v2＝2a·eq\f(l,2)所以有v2－veq\o\al(2,1)＝veq\o\al(2,2)－v2，故v＝eq\r(\f(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2),2))。(3)火车的平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v1＋v2,2)故所用时间t＝eq\f(l,\o(v,\s\up6(－)))＝eq\f(2l,v1＋v2)。【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念科学思维。【变式训练1】(2020·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是()A．平均速度等于eq\f(x,t)B．平均速度等于eq\f(v1＋v2,2)C．中间位置的瞬时速度等于eq\f(x,t)D．中间时刻的瞬时速度等于eq\f(v1＋v2,2)【答案】C.【解析】：根据平均速度的定义可得平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v1＋v2,2)，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2－veq\o\al(2,1)＝2a·eq\f(x,2)①，veq\o\al(2,2)－v2＝2a·eq\f(x,2)②，①②式联立解得：v＝eq\r(\f(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2),2))，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即veq\s\do9(\f(t,2))＝eq\f(v1＋v2,2)＝eq\f(x,t)，故D正确．【变式训练2】．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有()A．物体经过AB位移中点的速度为eq\f(v1＋v2,2)B．物体经过AB位移中点的速度为eq\r(\f(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2),2))C．物体通过AB这段位移的平均速度为eq\f(v1＋v2,2)D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为eq\f(v1＋v2,2)【答案】BCD.【解析】：设经过位移中点时的速度为veq\s\do9(\f(x,2))，则对前半段的位移有2a·eq\f(x,2)＝v2eq\s\do9(\f(x,2))－veq\o\al(2,1)，对后半段的位移有2a·eq\f(x,2)＝veq\o\al(2,2)－v2eq\s\do9(\f(x,2))，由这两式得veq\s\do9(\f(x,2))＝eq\r(\f(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2),2))，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有v＝veq\s\do9(\f(t,2))＝eq\f(v1＋v2,2)，选项C、D正确．【知识点四】初速度为零的匀加速直线运动的比例关系1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)(1)1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比：由v＝at可得v1∶v2∶v3∶…＝1∶2∶3∶…(2)1T内、2T内、3T内、…位移之比：由x＝eq\f(1,2)at2可得x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…的位移之比：由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2…可得xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…＝1∶3∶5∶…2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0)(1)通过x0、2x0、3x0、…所用时间之比：由x＝eq\f(1,2)at2可得t＝eq\r(\f(2x0,a))，所以t1∶t2∶t3∶…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…(2)通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…所用时间之比：由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2…可得tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…(3)x0末、2x0末、3x0末、…的瞬时速度之比：由v2＝2ax，可得v＝eq\r(2ax)，所以v1∶v2∶v3∶…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…3.注意：(1)比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。(2)对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向分析应用比例关系解答。【例4】一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度；(2)前6s内的位移；(3)第6s内的位移．【思路点拨】：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．②注意区别前6s和第6s的确切含义．【答案】(1)6m/s(2)18m(3)5.5m【解析】(1)由于第4s末与第6s末的速度之比v1∶v2＝4∶6＝2∶3故第6s末的速度v2＝eq\f(3,2)v1＝6m/s.(2)由v1＝at1得a＝eq\f(v1,t1)＝eq\f(4m/s,4s)＝1m/s2.所以第1s内的位移x1＝eq\f(1,2)a×(1s)2＝0.5m第1s内与前6s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6s内小球的位移x6＝36x1＝18m.(3)第1s内与第6s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11故第6s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5m.【素养提升】本题考查的核心素养是物理观念科学思维。【规律方法】有关匀变速直线运动推论的选取技巧(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．【变式训练1】(2020·福建厦门一中月考)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速直线运动时()A.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…B.每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…C.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…D.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…【答案】C【解析】列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v＝eq\r(2ax)，所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…，故A错误；根据时间t＝eq\r(\f(2x,a))，所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…，故B错误；根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，故C正确，D错误。【针对训练2】在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军，如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？(冰壶可看成质点)【答案】eq\r(2)∶1(eq\r(2)－1)∶1【解析】把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等，则从右向左穿过矩形的速度之比1∶eq\r(2)，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比v1∶v2＝eq\r(2)∶1；冰壶从右向左通过每个矩形区域的时间之比1∶(eq\r(2)－1)；则冰壶实际运动穿过每个矩形区域的时间之比t1∶t2＝(eq\r(2)－1)∶1。三．讲知识体系四．课堂练习1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15m/s，则经过第一根电线杆时的速度为()A．2m/s B．10m/sC．2.5m/s D．5m/s【答案】D.【解析】：根据平均速度公式可知v＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋vt,2)，即eq\f(50,5)m/s＝eq\f(v0＋15m/s,2)，得v0＝5m/s，所以D选项正确．2．(2020·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4s．前2s和后2s位移分别为AB＝8m和BC＝12m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是()A．1m/s25m/s B．2m/s25m/sC．1m/s210m/s D．2m/s210m/s【答案】A.【解析】：根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(BC－AB,T2)＝eq\f(12－8,4)m/s2＝1m/s2；B点的瞬时速度vB＝eq\f(AB＋BC,2T)＝eq\f(8＋12,4)m/s＝5m/s.故A正确，B、C、D错误．3.(多选)(2