上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期期中考试六校联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期期中考试六校联考数学试卷一、填空题（共36分，每题3分）1.已知集合，且，则实数的值为______________．【答案】3【解析】因为，所以分为以下两种情况：①或，当时，集合满足题意；当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；综上所述，.故答案为：3.2.若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设_____．【答案】且成立【解析】假设结论的反面成立，即且成立．故答案为：且成立．3.若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.【答案】【解析】由指数函数的性质可得，解得.故答案为：.4.设且关于与的二元一次方程组有无穷多组解集，则的值为__________.【答案】【解析】由可得，由题意可知有无穷多组解集，即，所以.故答案为：.5.设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________．【答案】【解析】由图可知，阴影部分为，∵，∴，∴.故答案为：.6.设，，则可用含有，的代数式表示为__________.【答案】【解析】因为，得，所以，所以，故答案为：.7.已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为不等式的解集为，所以，且.由可得，即，所以不等式的解集为.故答案为：.8.关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解；当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以；当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以.综上原不等式解集为.故答案为：.9.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.【答案】【解析】.故答案为：.10.已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________.【答案】【解析】对于，若方程有两个大于1的实根，可得，解得或，设两个根分别为，由韦达定理得，，则，可得，解得，可得的取值范围是.故答案为：.11.已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______.【答案】24【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，在上递减，符合题意.当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则，依题意为正数，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24.故答案为：24.12.若直角坐标平面内两点，满足条件：①，都在函数的图像上；②，关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：__________.（填写所有正确的序号）① ②③ ④【答案】②【解析】①函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数只有一个，所以函数的“伙伴点组”有1个，不满足条件；②函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数恰有两个，所以函数的“伙伴点组”有2个，满足条件；③函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数有0个，所以函数的“伙伴点组”有0个，不满足条件；④函数关于原点对称的函数为，即，在上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数有0个，所以函数的“伙伴点组”有0个，不满足条件；故答案为：②.二、单选题（共12分，每题3分）13.已知命题“若，则”是真命题，集合，集合.下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件，，必有，所以，所以.故选：C.14.已知，且，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取，，此时，但，所以由不能推出，所以不是的充分条件，由，且，由不等式性质可得，所以可推出，所以是的必要条件，所以是的必要不充分条件.故选：B.15.根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题：①若，存在，使得；②若，对任意，满足．下列说法正确的为（）A.①真②假 B.①假②真 C.①②都假 D.①②都真【答案】B【解析】对于①，当时，函数在上单调递增，若，则，故①错误；②当时，函数在上单调递减，若，则，故②正确.故选：B.16.对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（）成立．A. B. C. D.【答案】D【解析】当不等式取等号时有，所以，所以，所以，所以，所以或，对于A：等价于或，不满足；对于B：等价于或，不满足；对于C：等价于或，不满足；对于D：等价于或，即为或，满足；故选：D.三、解答题（共52分，17-20每题10分，21题12分）17.已知集合，，，.（1）求；（2）求.解：（1），或，则；（2），则，得或，得或，则或，则，则.18.（1）设、均为正实数，试比较和的大小.（2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件.解：（1），当时，，则，当时，，当时，，则.（2）由三角不等式有：，当且仅当取等号，同理，当且仅当取等号，两式相加，当且仅当取等号，即：，当且仅当取等号.19.上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数．（1）设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值；（2）若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？解：（1）根据题意，即，，即，当且仅当，即时取等，所以的最大值为，此时；（2）设利润为，则，又，则，此时；，此时；，此时；所以每天制作款9幅，款2幅时总利润最大，最大总利润为236元．20.已知函数的图象经过点和，幂函数过点.（1）求和的值及的解析式；（2）解关于的方程.解：（1）由题意得，，，得，设幂函数，则，得，，故；（2）由（1）知，，，则化为，则，因在上单调递增，则，即，得或（舍），得.21.对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合.（1）若，直接写出集合和；（2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个