高考数学 第2节　函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值课标解读1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值.3.能够运用函数的单调性解决有关问题.1.函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间ICD.Vx₁,x₂∈I当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂),那么就当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减[教材知识深化]函数单调性定义的等价形式f(x₂)]>0⇔f(x)在区间D上单调递增；f(x₂)]<0⇔f(x)在区间D上单调递减.(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的_单调区间2.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足(1)Vx∈D,都有f(x)≤M;(2)x₀∈D,使得fx。)=M(1)Vx∈D,都有f(x)≥M;(2)3x₀∈D,使得f(x₀)=MM为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值[教材知识深化]1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.最小值为0?的最小值为0.常用结论常用结论1.对勾函数的单调递增区间为单调递减区间为2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时，f(x)十g(x)是增(减)函数；(2)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和一、基础自测(3)若函数f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),则f(x)在[1,6]上单调递减.(×)2.(人教A版必修第一册3.2.1节例5改编)已知函,x∈[0,2],则f(x)的最大值为2,最小值为二、连线高考A.(-∞,-2)B.(数在(0,1)内单调递减，知(2x-a)2x(x-a).1n2≤0在(0,1)内恒成立，即2x-a≤0在(方法二复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数，要使复合函数值范围是(D)考向1判断或证明函数的单调性A.y=tanxB.y=ln(-x)D不满足题意.故选BC.考点二考点一考点二考点一(2)判断函在(-1,1)内的单调性，并用定义证明.所以函数f(x)在(-1,1)内单调递增.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤设x₁,x₂是区间内的任意两个值，根据f(x₁)-f(x₂)的符号及单调性的取值作差变形[对点训练1](1)(多选题)下列函数在(0,+∞)内单调递增的是(AC)∴由对勾函数的性质知在(0,+∞)内为增函数，故选项C满足题不满足题意.故选AC.(2)(2024·广东揭阳高三摸底)用定义证明函(0,+∞)内单调递∴f(x₁)<f(x₂),∴函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.考点一考点一例2(1)(2024·福建南平期中)函数f(x)=x²-4|x|+3的单调递增区间是(D)由图象可知函数f(x)的单调递增区间是内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，所以函x²-2x-8的单调递增区规律方法规律方法求函数单调区间的方法(1)基本初等函数法：根据常用基本初等函数的单调性确定单调区间.(2)图象法：作出函数图象，由图象的升降情况确定单调区间，注意不连续的单调区间不能用“U”联结，只能用“和”“及”联结.(3)复合函数法：根据“同增异减”确定函数的单调(4)导数法：根据导数的正、负确定函数的单调区间.BBCC解析作出图象，可以得到函数的单调递减区间是故选B.解析由题意∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0).考向1利用单调性比较大小例3设f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0,+∞]上单调递增，A.f(-π)<f(-2)<f(3)B.f(-2解析因为f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于y轴对称，所以f(xb=f(2⁰.3),c=f(0.32),则(B)A.a<b<cB.a<c<b解析因为y=2×,y=x³在x∈R上单调递增，所以f(x)=2x+x³在x∈R上单调递增，又logo.32<logo.31=0,1=2⁰<20.³<2¹=2,0<0.3²=0.09<1,考向2利用函数的单调性解不等式则实数a的取值范围是(A)BABDCDC解析函在[-0,0]上单调递减，函数y=-x²-2x+1的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,所以函数f(x)=-x²-2x+1在区间(0,+∞)内单调递减，且规律方法准确判断函数的单调性勿忘定义域对自变量的限制利用函数的单调性解不等式的注意点不等式的一边没有“f”而是常数时，应将常数注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化[对点训练4](2024·山东潍坊模拟)已知函若f(a-2)>3,则实数a的取值范围是(0,1)解析因为函数在R上单调递减，y=log₂(x+2)在区间(-2,+∞)上单调递由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以解得0<a<1.考向3利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024-湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间[-∞,2]上单调解析令t=2x,贝考点二考点二即a的取值范围是9故选B.变式探究1-2x₁+2x₂,即g(x₁)+2x₁>g(x₂)+2x₂,令h(x)=g(x)+2x,则h(x)在[-∞,2]上单调递减，,所以有2(a-2)≥2,解得a的取值范围是(3,+∞o).变式探究2x₁,x₂,都则实数a的取值范围是(1,+∞)_.所以解得a>1,故实数a的取值范围是(1,+o).规律方法规律方法根据函数单调性求参数取值范围的方法(1)已知f(x)在区间I上单调递增(减),可先求出f(x)的单调递增(减)区间设为D,然后根据I与D的包含关系ICD,建立参数的不等式求解.(2)已知分段函数的单调性求参数范围时，除了每一段的单调性要求，还要注意分段点处函数值的大上单调递增，在R上单调递减，则应有上单调递减，上单调递减，所以所求函数的最小值为.故选B.的值域的值域为[-∞,2].解析(方法一