高考数学 第3节　函数的奇偶性、周期性

第3节函数的奇偶性、周期性1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.定义图象特点偶函数关于y轴对称奇函数关于原点对称[教材知识深化]关于原点对称的非空数集.条件.(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0是奇函数.2.函数的周期性得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=_f函数.非零常数T就叫做这个函数的周期.并非所有周期函数都有最小正周期(2)最小正周期：如果在周期函数fx)的所有周期中存在一个最小的正[教材知识深化]若T是函数f(x)的周期，那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.常用结论常用结论如果函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数的区间上具有相反的单调性.2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数)(1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a.(2)若,则周期T=2a.(3)若,则周期T=2a.(4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=la—b|.(5)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a和x=b,那么周期T=2|a—b|.0),那么周期T=2|a—b|.(7)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a,对称中心有(b,0),那么周期T=4|a—b|.(8)若函数f(x)是周期为T的奇函数，则必有一、基础自测(4)若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3.(√)2.(人教B版必修第一册习题3-1B第8题改编)已知函数f(x)=(x-1)²+ax+2是解析(方法一)由题意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,3.(人教A版必修第一册习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇解析设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x(1-x),故函数解析式二、连线高考该函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的图象易知函数f(x)的定义域为(方法二)设函数g(x)的定义域是∴函数g(x)是奇函数.例1判断下列函数的奇偶性.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(方法二图象法)作出函数f(x)的图象，由也不是偶函数.解f(x)的定义域为R,且f(-x)=l-x+1|-I-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. 解由1-x²≥0得-1≤x≤1,所以x+2>0,所定义域为[-1,0]U(0,1].所所以函数fx)是奇函数.规律方法规律方法判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法考点一求f(x)考点一求f(x)的“二看”定义域否(2)图象法f(-x)=f(x)→f(x)是偶函数；f(x)为偶函数“三判断”“一求”是(3)性质法：若f(x),g(x)有相同的定义域，则奇奇奇偶奇奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶偶偶奇非奇非偶奇偶D关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；对于D,f(x)的定义域为R,由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数.考点二函数奇偶性的应用令f(2)=2⁵+a×2³+2b+8=t,则f(-2)+f(2)=(-2)⁵+a×(-2)³+b×(-2)+8+2⁵+a×即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故选C.解析(方法一)由题意，知函数f(x)的定义域为(-∞0,0)U(0,+o).(方法二)由题意，知函数f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+∞o).解析由奇函数的定义可得f(-x)=-f(x).则0<-x<2,f(-x)=-f(x)<0,或5根据题意可得xf(x)>0的解集为(-∞,-2)U(2,+∞).故选C.规律方法将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出系数的对等性得参数的方程(组)求得参数利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题A.bB.-b考点一考点一所以2+m-n+1=0,得到4+m-2n+1=0,所以可作出y=f(x)的大致图象如图所示.考点三函数的周期性又f(-5)=f(4.5),即-1+a=1.5,规律方法函数周期性的判定与应用(1)判定：由f(x+T)=f(x)可得函数为周期函数且周期为T,同时要熟记关于函数周期的几个结论，能够根据f(x+T)与f(x)的关系快速得到函数周期.(2)应用：周期性的应用主要有两个方面：①求值：借助周期将自变量的值转化为已知的函数值或转化到解析式已知的区间上，代入求值；②求解析式：求函数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数