高考数学 第4节　幂函数、二次函数

2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).1.幂函数(1)幂函数的定义(2)常见的五种幂函数的图象y=xX(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调[教材知识深化]1.幂函数图象的特征2.幂函数y=x(a∈R)在第一象限内图象的画法(1),其图象可类似y=x¹画出.微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?提示不可以.因为当x>0时，y=x⁴>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限，但一定不经过第四象限.(1)二次函数解析式的三种形式(2)二次函数的图象和性质图象(抛物线)值域对称轴顶点坐标当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数在内单调递减微思考如何求解二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值?ax²+bx+c=0(a≠0)的根有两相异实数根有两相等实数根没有实数根{x|x<x₁或x>x₂}实数集R常用结论常用结论与n互质),当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m,n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数.3.若f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(m,n),则其图象的对称轴为直线x=m,其最值为n;若有f(x₁)=f(x₂),则其图象的对称轴为直线一、基础自测(2)若二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限，则必有a<0.(4)幂函数的图象若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.(√)2.(人教A版必修第一册3.3节练习第1题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点3.(人教B版必修第一册复习题B组第4题改编)已知f(x)=x²+2(a-1)x+2在的取值范围是[-0,-3].所以a的取值范围是(-0,-3).又0.60.5<0.6⁰=1,D.a<b<D.a<b<解析由题意结合图象可知a<0<c<1<b.故选B.解析因为幂函数y=xm²-2m-3(m∈Z)在区间(0,+∞)内单调递减，规律方法规律方法幂函数图象与性质注意点(1)幂函数y=x“的性质与幂指数α的取值有关，解题中要善于根据幂指数的符号与取值范围确定函取值范围等.(2)幂函数y=x“的图象关键要抓住第一象限内的特征与形状，其余象限部分由奇偶性、单调性决定.(3)比较幂值大小时，务必结合幂值特点，选择恰当的函数，借助单调性进行比较.[对点训练1](1)(2024·江苏常州模拟)如图所示是函∈N*且互质)x∈(0,1)时的图象在y=x的图象的上方，当x∈(1,+∞)时的图象在(2)(2024.山东济宁模拟)幂函数f(x)=(m²-3m-3)xm在区间(0,+o)上单调递减，则下列说法正确的是(C)A.m=4B.f(x)是减函数C.f(x)是奇函数D.f(x)是偶函数例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.设f(x)=ax²+bx+c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7.(方法三利用“零点式”解题)由已知得f(x)+1=0的两根为x₁=2,x₂=-1,又函数有最大值8,即.解得a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7.规律方法规律方法规律如下：三点坐标宜选用一般式已知已知对称轴宜选用顶点式最大(小)值与x轴两交点坐标宜选用零点式条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式.条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};条件③:方程f(x)=0有两根解得c=-3.若选条件③,方程f(x)=0有两根由根与系数的关系可得x₁+x₂=2,x₁x₂=c,考点一考点一(AD)A.b²>4acB.2a-b=1解析因为图象与x轴交于两点，所以b²-4ac>0,即b²>4ac,故A正确；由对称轴为直线x=-1知，b=2a,根据抛物线开口向下，知a<0,所以5a<2a=b,即5a<b,故D正确.故选AD.识别二次函数图象应学会“三看”看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向对称轴看对称轴和顶点，它确定了二次函数图象的具体位置特殊点看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等A.a+b+c>0B.a-b+c<0考向2二次函数的单调性例4(2024-湖北随州模拟)已知函数f(x)=(m+1)x²-mx-1(m∈R)在(0,+∞)内单调递增，则实数m的取值范围是[-1,0].解析若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在(0,+)内单调递增，符合题意；若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤0.变式探究1 若m+1>0,即m>-1解得无解；解得解得m≤-2.变式探究2若m+1≠0,则应有,解得因此实数m的取值范围是变式探究3本例中，若函数解析式不变，且对于任意的x₁,x₂∈(0,+0∞),当x₁≠x₂时都有(2)若m≠-1,依题意应有解得-1<m≤2.综上所述，实数m的取值范围是[-1,2].规律方法规律方法二次函数单调性的求解策略(1)二次函数的单调性与其图象的开口方向及对称轴的位置有关，应将二者结合起来分析对称轴与所给区间端点的大小关系，从而建立不等式求解；(2)若二次项系数含有参数，应注意讨论二次项系数为零时是否符合题意；考向3二次函数的最值例5(2024-湖北武汉联考)已知函数f(x)=ax²-2ax+1+b(a>0).(1)若a=b=1,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的②当,即时，函数在x=t+1时取得最大值(t+1)²-2(t+1)+2=t²+1.(2)因为函数的图象开口向上，且对称轴方程为x=1,二次函数最值问题的类型及求解策略三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.[对点训练4](2024·云南昆明模拟)已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象(2)设g(x)=f(x)+2mx,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值h(m).因为对于任意x∈R,都有f(x)≥2x,即ax²+2(a-1)x≥0恒成立，考点一考点一(2)g(x)=f(x)+2mx=x²+(2+2m)x,则g(x)的图象的对称轴为直线x=-m-1,当-m-1≤0,即m≥-1,函数在[0,1]上单调递增，故g(x)在[0,1]上的最小值为[-m-1,1]上单调递增，故g(x)在[0,1]上的最小值为g(-m-1)=-(m+1)².综考向4与二次函数有关的恒成立问题例6已知两函数f(x)=8x²+16x-k,g(x)=2x²+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范围；(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x₁,x₂∈[-3,3],都有f(x₁)≤g(x₂),求k的取值范围.解(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x²+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为(86,+∞).由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为(-10,+∞o).由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.由120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为(118,+∞).规律方法规律方法函数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于[对点训练5]已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5.(2)若y=f(x)的图象恒在