广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知直线l经过点，，则正确的是()A.直线l的斜率为1 B.直线l的倾斜角为C.直线l的方向向量为 D.直线l的法向量为2．若椭圆（）仅经过,,中的一个点,则椭圆C的短轴长为()A.2 B.4 C. D.3．已知数列成等差数列,成等比数列,则的值是()A. B. C. D.14．圆关于直线对称的圆N的方程是()A. B.C. D.5．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．在四棱锥中,底面是平行四边形,且,设,,,则()A. B.C. D.7．已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时n的值是()A.4 B.5 C.6 D.108．若直线为双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。）9．已知数列满足，，记数列的前n项和为，则()A. B.C. D.10．已知空间向量,,则()A. B.C. D.11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交l于点E，则()A. B. C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．直线与直线之间的距离为________.13．若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于___________.14．圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点N是直线上一点，则的最小值为________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A的大小；(2)若，且，求c的取值范围.16．（15分）已知等差数列的前n项和为,满足,．(1)求数列的通项公式；(2)设,求．17．（15分）已知数列的前n项和为,且满足,数列是等差数列,,且、、成等比数列.(1)求数列和数列的通项公式；(2)记,求数列的前n项和；(3)记,求.18．（17分）如图，正四棱台中，E为的中点，，.(1)当时，（i）求证：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值.(2)若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积.19．（17分）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规,其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接,构成菱形.带槽杆长为4,点,间的距离2,转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上,且.（1）以线段中点O为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,求出点E的轨迹的方程;（2）过点的直线与交于A,B两点.记直线,的斜率分别为,,（i）证明:为定值;（ii）若直线的斜率为k,点N是轨迹上异于A,B的点,且平分,求的取值范围.

广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学答案题号1234567891011答案BBADCABDCDABCACD12．答案：/13．214．15．答案：(1)(2)解析：（1）由余弦定理及得，显然，，，；（2），，，，，c的取值范围是.16．答案：(1)(2)20解析：(1)设等差数列的公差为d,由题意可得,解得,所以.(2)由(1)可得,所以.17．答案：(1),(2)(3)当n为偶数时,；当n为奇数时,解析：(1)当时,,解得,当时,,整理得又,,,数列是首项为3、公比为3的等比数列,,设等差数列的公差为d,,且、、成等比数列,即,即,解得,.(3)由(1)可知则(3)由题意可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,.18．答案：(1)（i）证明见解析；（ii）(2)解析：（1）（i）证明：连接交于O，连接，，交于点，连接，则平面.平面，.在正方形中，，且，平面，平面.平面，.，，，，.连接，且，四边形为平行四边形..连接，E为的中点，.平面，，平面.平面，平面平面.（ii）由题意，，，两两互相垂直，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，则，，，，，，.，，.设平面的法向量为，则，取，则，，.设直线与平面所成的角为，.直线与平面所成角的正弦值为.（2）取，的中点M，N，连接，，，则，，.由题意，设球为正四棱台的内切球，则为的中点，且球与平面的切点T在上，如图，可证，，，..过N作，垂足为H，则，，，，正四棱台的体积为.19．答案：（1）（2）（i）证明见解析;（ii）解析：（1）,,点E的轨迹是以,为焦点的椭圆,设椭圆的方程为,,,,,,点E的轨迹的方程为;（2）（i）证明:设直线与椭圆的交点坐标为,,①当直线斜率存在时,如图,设,联立直线与椭圆的标准方