河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（含答案）

河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．贵州是一个地理环境独特，民族文化丰富的省份，黄果树瀑布、荔波大小七孔、梵净山、西江千户苗寨逐渐发展为贵州旅游名片.甲，乙两名同学计划各自从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则甲，乙恰有一个景点相同的概率是()A. B. C. D.2．经过两点的直线的倾斜角是()A. B. C. D.3．已知随机变量,且,则()A. B. C. D.4．在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与GF所成角的余弦值是()A. B. C. D.5．如图,三个自动开关,,正常工作的概率都是,且是互相独立的.若将它们接入电路中,则电路不发生故障的概率是()A. B. C. D.6．在平行六面体中,M为与的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是()A. B. C. D.7．如图，P是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，，则()A.8 B.4 C. D.8．离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是()A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分,。每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分）9．设函数,且记,则()A.数列的首项为1 B.数列的前8项和为1C.数列的前8项和为-2187 D.数列的前8项和为010．已知动点P在双曲线上运动,则下列结论正确的是()A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程为C.焦点到渐近线的距离为1D.动点P到两渐近线的距离之积为定值11．如图所示,在棱长为2的正方体中,M,N分别为棱,的中点,则下列结论正确的是()A.直线与平面所成角的正弦值为B.点D到平面的距离为2C.直线与是异面直线D.平面截正方体所得的截面面积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．若，则x的值为________.13．已知是双曲线的左、右焦点,A,B为双曲线C上的两点,若,且以为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为________.14．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标,且,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示的瓷砖片数,则____________________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知圆C过两点,且圆心C在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)求过点的圆C的切线方程；(3)若直线l的横截距为,纵截距为,直线l被圆C截得的弦长为,求的最小值.16．（15分）如图,在直三棱柱中,平面侧面,且,(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的大小为,求锐二面角的大小.17．（15分）人工智能在做出某种推理和决策前,常常是先确定先验概率,然后通过计算得到后验概率,使先验概率得到修正和校对,再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子内有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9个红球和1个白球,乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子,假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）,再从该袋子中随机摸出一个球,称为一次试验.经过多次试验,直到摸出红球,则试验结束；若试验未结束,则将摸到的球放回原袋,每次试验相互独立.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.（i）求选到的袋子为甲袋的概率；（ii）求选到的袋子为乙袋,且第二次试验就结束的概率.18．（17分）如图，在矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，点，分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.(1)若，，，求点的坐标并证明点在椭圆上；(2)证明：点在同一个椭圆上；(3)若，.已知，过点作斜率为k的直线交（2）中椭圆W于S，T两点，直线，分别交直线于P，Q两点，若，求k的值.19．（17分）某工厂有甲,乙两个车间加工同一种零件,已知加工该零件需要两道工序,每道工序的加工结果相互独立,且只有每道加工工序都合格,该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一,二道加工工序合格的概率分别为,.(1)对6个来自甲车间,4个来自乙车间的零件进行质检,若从这10个零件中随机抽取1个,求该零件可以出厂销售的概率.(2)甲车间加工的每个零件,销售后可以盈利100元,若不能销售则亏损30元,乙车间加工的每个零件,销售后可以盈利100元,若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛,该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量,若以每个零件获利的数学期望为决策依据,请判断该工厂应扩建哪个车间.

河南省南阳市五校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学答案题号1234567891011答案DBBDDACDBDADAD12．答案：4或5解析：由可得或，解得或，又，解得，且，所以x的值为4或5.故答案为：4或513．答案：解析：如上图所示,设,,,,则,.因为,所以.因为A、B在双曲线上,则.又因为过原点O以为直径的圆过点A,所以.根据双曲线的性质有,联立得所以,设离心率,则,解得,（,舍去）.所以.故答案为:.14．答案：1解析：因为,所以,所以,又,所以,由已知,所以.故答案为：1.15．答案：(1)(2)或(3)解析：(1)因为圆心C在直线上,设圆心为,因为点在圆C上,所以,即,解得,所以圆心,半径,所以圆C的标准方程为：；(2)由(1)可得圆,则圆心,半径,因为,则点P在圆C外,当过点的直线斜率不存在,则直线方程为,圆心C到直线的距离为2,故直线为圆C的切线；当过点的直线斜率存在,可设直线方程,即,圆心C到该直线的距离,由直线与圆C相切,则,即,可得,解得,此时,直线方程为,即；综上,切线的方程为或；(3)直线l被圆C截得的弦长为,圆心C到直线l的距离为,又直线l的横截距为,纵截距为,则直线l的方程为,即,圆心到直线l的距离为,整理可得,由,得,即,解得或,因为,则,则,故,当且仅当时,即当时,等号成立,所以,的最小值为.16．答案：(1)详见解析(2)解析：(1)如图,取的中点D,连接.因为,所以.由平面侧面,且平面侧面,得平面.又平面,所以,因为三棱柱是直三棱柱,则底面,所以又,从而侧面,又侧面,故.(2)由(1)知且底面,所以以点B为原点,以所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设,则,,,,,,,.设平面的一个法向量,由,,得.令,得,则.设直线与平面所成的角为,则,所以,解得,即.又设平面的一个法向量为,同理可得.设锐二面角的大小为,则,由,得.锐二面角的大小为.17．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：（1）设试验一次,“取到甲袋”为事件,“取到乙袋”为事件,“试验结果为红球”为事件,“试验结果为白球”为事件.则,所以试验一次结果为红球的概率为.（2）（i）因为是对立事件,,所以,所以选到的袋子为甲袋的概率为.（ii）由（i）得,设为第i次独立试验结束的概率,则所以设题设概率为P,则.18．答案：(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)或解析：（1）当，，时，，，，，直线①，直线②，联立①②，得的坐标为把的坐标代入椭圆方程，有，在椭圆上.（2）设，则，，，，.，则直线①，则直线②，在直线，上，是方程①，②的解，①×②，得，化简得，点在同一个椭圆上.（3）当，时，椭圆，将椭圆W向右平移两个单位长度，则椭圆，即是，平移后，，，，，，.设，，显然，且直线不过原点，设直线，过，，则直线.所以，可变为，整理得因为，所以两边同除以，得，即因为点，坐标满足此方程，则，是方程的两根，，则，.直线，直线，直线，分别联立解得，.则.所以，解得.，或.19．答案：(1)0.79(2)应扩建甲车间