广东省佛山市南海区2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

广东省佛山市南海区2026届数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（）A.8 B.10C.16 D.322．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A.4862 B.4962C.4852 D.49523．椭圆的一个焦点坐标为，则（）A.2 B.3C.4 D.84．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.4005．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（）A. B.0C. D.6．已知双曲线的左焦点为，，为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.7．圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.内含C.相切 D.相交8．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或10．若圆与圆相外切，则的值为（）A. B.C.1 D.11．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A. B.1C. D.212．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.14．4与16的等比中项是________.15．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________16．函数的图象在点P（）处的切线方程是，则_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求18．（12分）已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．（12分）已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线.20．（12分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行（是自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.22．（10分）（１）求焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；（2）求经过点的抛物线的标准方程；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根，所以，又因为数列是等比数列，所以，故选：C2、D【解析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D3、D【解析】由条件可得，，，，由关系可求值.【详解】∵椭圆方程为：，∴，∴，，∵椭圆的一个焦点坐标为，∴，又，∴，∴，故选：D.4、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B5、A【解析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论【详解】由题设，，所以，函数在x＝π处瞬时变化率为，故选：A6、C【解析】由双曲线的渐近线方程和两点的距离公式，求得点的坐标和，在中，利用余弦定理，求得的关系式，再由离心率公式，计算即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，设在渐近线上，且点在第一象限内，由，解得，即点，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以双曲线离心率为.故选：C.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7、D【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.【详解】圆的圆心为，半径为圆的圆心为，半径为两圆心间的距离为由，所以两圆相交.故选：D8、A【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.故选：A9、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.10、D【解析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，由可得，所以圆的圆心为，半径为，因为两圆相外切，所以，解得，故选：D11、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因为，所以，所以；故选：C12、D【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.【详解】因为，则其方向向量，，解得.故答案为：2.14、±8【解析】解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.答案±815、【解析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式，即可判断抛物线的焦点坐标为，从而解得答案.【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为：.16、【解析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求解.【详解】根据导数的几何意义可知，，且，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）4【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用，即可求出结果【小问1详解】解：直线极坐标方程为，即，又，可得的普通方程为，曲线的参数方程是(为参数，消参数，所以曲线的普通方程为【小问2详解】解：在中令得，，倾斜角，的参数方程可设为，即（为参数），将其代入，得，，设，对应的参数分别为，，则，，，异号，.18、（1）（2）【解析】（1）根据得到，再结合为等比数列求出首项，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得数列的通项公式，进而利用公式法即可求出【小问1详解】解：（1），，当时，，即，又，为等比数列，所以，，数列的通项公式为【小问2详解】（2）由（1）知，则，数列的前项和19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由和，联立求解；（2）由（1）易得直线：，直线：，，分别与x=t联立，求得M，N坐标，设，利用，得到，然后两边乘以，结合点P在椭圆上化简得到即可，【详解】（1）在椭圆中，，，，则，，由题意得：，又，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，，，则直线：，直线：，由题意，，联立，同理联立，设，则①，且点满足：，即，两边乘以，可得：，代入①得：，而，则，所以，，三点共线.20、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，从而，令，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围【小问1详解】解：，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，解得；【小问2详解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，则，当时，；当时，，函数在上单调递减，有上单调递增，，，即实数的取值范围是21、（1）（2）或【解析】（1）由已知计算可得即可得出方程.（2）由已知可得联立方程，结合韦达定理计算即可得出结果.【小问1详解】依题得解得：椭圆的方程为.【小问2详解】由已知动直线与椭圆相交于、，设联立得：解得：，即：或（*）坐标原点总在以为直径的圆外则：,即将（*）代入此式，解得：，即或或22、（1）；（2）或.【解析】（1）由虚