概率论与数理统计期末考试试题及答案

一、单项选择题(每题3分共18分)

若事件4、B适合P(A8)=0,则以下说法正确的是().

(A)A与8互斥(互不相容)；

(B)尸(A)=0或尸(5)=0;

(C)4与8同时出现是不可能事件；

(1)(D)尸⑷〉0,则P(B|A)=0.

(2)设随机变量X其概率分布为X-1012

则P{XW1.5}二

(A)(B)1(C)0(D)1

2

设事件A与4同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的

是()

(A)尸(A)=R：44)(B)P(A)NP(4)+P(4)-I

(C)P(A)=P(4U&)(D)P(A)WP(A)+P(&)-I

设随机变量X〜N(-3,1),y~N(2,1),且X与y相互独

立，令Z=X—2y+7,则Z~().

(A)N(O,5);(B)N(O,3);(C)N(O,46);(D)N(O,54).

1.D2.A3.B4.A5,A6.B填空题LP(B)2.

xexx>0

fM=

0x<0

,(1)如果P(4)>0,尸(8)>0,尸(川8)=尸(4),则尸(B|A)=

(2)设随机变量x的分布函数为

[0,x<0,

F(x)=J

l-(l+x)e,x>0.

则X的密度函数f(x)=,

P(X>2)=.

三、(6分)设A6相互独立，P(A)=0.7,尸(AU8X0.88,求P(A_8).

四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻

T,各电梯在

运行的概率均为，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

五、(6分)设随机变量X的概率密度为了(幻=卜、x

其它

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

六、(8分)已知随机变量x和y的概率分布为

X-101Y01

1

2

(1)而且P{xy=0}=1.求随机变量x和y的联合分布；⑵判

断x与y是否相互独立

七、(8分)设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为

12e--x+4”,x>0,y>(),

于(X,y)=•

0,其他

求：(1)P(0<X<l,0<y<2);(2)求X的边缘密度。

八、(6分)一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从参数

为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可

予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方

需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户月电

情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0,20]

上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量

超过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数①⑴的值

表示）

三、解：=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(8)-P(A)P(8)(因为A8相互独

立)……・・2分

=0.7+P(B)-0.7P(B)...................

3分

则

P(B)=().6.....................4分

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=0.7-0.7x0.6=0.28....................

6分

解：用X表示时刻了运行的电梯数，则

X~〃(4,0.7)..............・・・2分

所求概率P{X>I}=I-P{X=O}...............4

分

=I-Cj(0.7)°(l-0.7)4=.....................6分

解：因为)，=2x+l是单调可导的，故可用公式法计

算.......・1分

当X之0时，

Y>\....................2分

由y=2x+l,得工=^-x'=—....................4

*22

分

y-11

从而y的密度函数为力,（），）=........•.5

0y<\

分

1上

—•e?y>1

2

=.....................

0y<\

.6分

解：因为p{xy=o}=i,所以p{xywo}=o

（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

...........・4分

（2）因为p{x=（）,y=（）}=（）wP{x=o}p{y=o}=-x-=-

所以x与y不相互独立

8分

解：用Xj表示第i户居民的用电量，则Xj~U[0,20]

02

'123

分

1000

则1000户居民的用电量为x=ZXj，由独立同分布中心极限

定理

p{x>10100}=\-p{x<10100}

3分

X-lOOOxlO.10100-1000x10

-<4

lOOOx1^

3必。喈

分

10100-1000x10

X［一以———)

100

1000X——

3

.6分

7分

I2

解：(1)P(0<X<1,0<X<2)=jdx\12e^Ay)dy・・2分

00

=£3e-3»曲f4"心斗匹「喟

.4分

（2）/x（x）=J：12e3”）力.......・.6分

.1--X

因为x~e(3得/(x)=『4x>°....................2

40x<0

分

用y表示出售一台设备的净盈利

100X>1

y=5...................

100-3000<X<l

3分

则P(Y=100)=C-eidx=e^

Ji4

P(y=-200)=(rAdx=\-e4.............••4

分

」」_1

所以Ey=100x”+(_200)x(l_JZ)=300e7-200a33.64(元)

一、填空题(每小题3分，共30分)

1、“事件A&C中至少有一个不发生”这一事件可以表示

为.

2、设P(A)=0.7,P(AB)=0.3,贝|JP(A」B)=.

3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个，恰好抽到2个红

球的概率.

4、设随机变量X的分布律为P(X=Z)=*(左=1,2,,・,8),则

O

5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布，则

P(-2<X<4)=.

6、设随机变量x的分布律为，则lx2的分布律

是.

X-2-101

一_i~~8i~~r

PkS西M百

7、设随机变量x服从参数为2的泊松分布，且已知

E[(X-1)(X—2)]=1,则几二.

8、设苗区,…区是来自正态总体N(-2,9)的样本,一是样本均植,

则G服从的分布是

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生

产的60件产品中有12件是次品，乙企业生产的50件产品中

有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中

任取1件进行检验.求：

(1)求取出的产品为次品的概率；

(2)若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的

概率.

三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

kx,O<x<3

/U)=«2-|,3<x<4(1)确定常数"(2)求X的分布

0,其它

•♦

函数”(幻；(3)求P」<X4工■.

2

四、（本题12分）设二维随机向量（x,y）的联合分布律为

Y\X012

0.10.20.1

2a0.10.2

试求：（1）a的值：（2）x与y的边缘分布律；（3）x与y是否独立

为什么

五、（本题12分）设随机变量x的概率密度为

x,0<x<1,

/（x）=p-xj<x<2,求E（X）,力（X）

0,其他.

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、ALC或XJ后ul2、3、或色或4、15>-6、

C：113

X?|014

―1317、18、N（-2,l）

PkI?55

二、解设4,乙分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产，3

表示取出的零件为次品，则由已知有

2分

P（A）=—110=-H^（A-）=—110=—H^（^IAV）=—60=5A-）=—505•••

（1）由全概率公式得

P（B）=P（A）P（BIA）+P（A2）P（例............7分

（2）由贝叶斯公式得

51

…)二…小口9.........................12分

JP(B)111

5

三、(本题12分)

解(1)由概率密度的性质知

f(x)dx=^kxdx-\-^2-^\dx=^k+^=\

故2=!...................................................3分

6

⑵当xW0时,F(x)=J：f(t)dt=0；

当0vxv3时,F(x)=[x=J；/=

当3<x<4时

dt=—x~+2.x—3；

4

当xN4时，F（A）=J：/⑺力=J：:tdt+J：

24Jdt=\\

故X的分布函数为

0,x<0

1、

——厂,0<x<3

12

「（工）=9分

--X2+2x-3,3<x<4

4

1,x>4

77}

p\\<X<-\=F

(3)5/⑴二16-12-4812分

2

四、

解（1）由分布律的性质知

01.+0.2+0.1+。+0.1+0.2=1

故。=0.3...................................................................................4分

（2）（x,y）分别关于x和y的边缘分布律为

X012

~p~0.4().3().36分

Y12

~p0.40.68分

(3)由于尸{x=o,y=i}=o.i,p{x=o}p{r=i}=0.4x0.4=0.16,故

p{x=o,y=i}wp{x=o}p{y=i}

所以x与丫不相互独立......................................12分

五、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

/(%)=-2-x,1<x<2,

0,其他

求E(X),D(X).

,r--113"

解E(X)=J4(x)dj=J/心+/x(2-x)dr=-x3+x1--=1................6分

oi3n3.

22

£(x2)=J：xf(x)d.x=J：Vdr+J：X(2-x)d.x=(9分

D(X)=E(X*12)-rF(X)l2=j................................................................................12分

6

一、.......................................................填

空题(每空3分，共45分)__

1、已知P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(A|月)=—P(A

UB)=

2

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为6,A发生

且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的

概率为：_________________；

3、一间宿舍内住有6个后学,求他们之中恰好有4个人的生

日在同一个月份的概率：

没有任何人的生日在同一个月份的概率

Ae\x<0

(p(x)=<1/4,0<x<2

4、已知随机变量X的密度函数为：卜x-2,则

常数A=,分布函数F(x)=,概率

｛

P-O.5<X<1)=___________________.9

5、设随机变量X~B(2,p)、Y〜B(l,p),若尸｛/川=5/9,

则p=，若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布

律：；

6、设X-8(200,0.01)1-/⑷，且x与Y相互独立，则

D(2X-3Y)=______________

1、....................................................

(12分)设连续型随机变量X的密度函数为：

-x,0<x<2

0(x)=2

°，其它求：1)尸｛I2X-1K2｝；2)y=的

密度函数仍(叭3)""-I)；

2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

[1/

1)....................................................................................................................⑼

求边缘密度函数外⑴，外⑺；

2).....................................................................................................................问

X与Y是否独立是否相关计算Z=X+Y的密度函数如⑶

1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、

汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘

飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别

是1/4,1/3,1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的

可能性最大

36!

1、—；2、2/3；3、12$,亘；4、1/2,歹(x)二

-e\x<0

2

•0<x<2

24

Lx>23^_2-os

g

,P{-O,5<X<1}=4-2;5、p=1/3,

Z=max(X,Y)的分布律：Z012P8/27

16/273/27；

6、D(2X-3Y)=

计

算题(35分)

9

.P{|2X-1|<2}=P{-().5<X<1.5)=—

1、解1)16

/、T-7=+(-V7))»y>0

%(y)=<2,)，

[(),y<()

0<y<4

=14

2)0,其它

45

E(2X-i)=2EX-\=2x——1=-

3)33

X

7办,0<x<20<x<2

(Px，x)=J叭K,y)dy二仁42

-000,其它0,其它

2、解：1)

lyl<2lyl<2

夕丫()')=J(p(x,y)dx=<

-oo0,其它0,其它

2)显然，叭a)')*9xa)外(y),所以X与Y不独立。又因为

EY=0,EXY=0,所以,C0V(X,Y)=0,因此X与Y不相关。

(pz(z)=^(p(x,z-x)dx

f21I7

f,—dx,0<z<4------0<z<4

=«J：4=«28

0,其它[o,其它

1、解：设事件Al,A2,A3,A4分别表示交通工具“火车、

轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10,1/5,1/10和2/5,

事件B表示“迟到”，

已知概率P{8IA}，i=123,4分别等于I/%"3,"2,0

4

P{B）=^P（A）P（B|A）=—

则M120

P（AIB）=m）f（m）=±P（4|B）J（&）P⑻&）=9

1P（B）23,~P（B）23

i/⑷w'3）…E）=°

P（B）23,4P（B）

由概率判断他乘火车的可能性最大。

一、填空题（每小题4分，共20分）

J、设事件A,3独立，且尸⑷=。5尸（0=0.6,则

P（AB）=

0

\kx\0<x<2

J（x）=〈

2、设随机变量x的分布密度为1°>其它，则

k=------o

丫=X-N

3、设随机变量则一丁〜------0

4、设XJ相互独立，其分布列分别为

X01Y01

P%%P%%

则P（x=y）=------。5、设x~M2,2）,则研2=-------o

二、单项选择题（每小题4分，共20分）

1、对于任意二事件A,B，则（）

（A）若A3。①，贝IjA、8一定独立⑻若ABw①，则4B一定

不独立

©若ABO,则48一定互斥（。）若A8二①，则A、B一定

互余

2、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率

为〃,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()

(A)3p(l-p)2⑹6p(l-P)2(O3P2(1-犷(。)6P2(1-p)2

3、已知随机变量X的分布密度为

4V0<x<1

.「[(),其它若P{X<a}=P[X>a},那么常数

。=()

1

⑷?2

4、设X；箱面疝豆,..宜父:犷(庙；y〜N(1,4),则()

HX4-y<2)=-ax+r<i)=-

(A)2(B)2

KX-Y<2)=-⑺尸"D

(O22

5、设X〜N(L4),y〜N(T2),且X,y相互独立，则X-2Y〜

()

(A)N(l,13)(B)N(l,-5)(C)NQ屈)(。)N(3,12)

三、(10分)某商店销售的LED灯中，甲厂产品占80%,其中

一等品占95%,乙厂产品占20%,其中一等品占90%,求顾客任

购一支LED灯是一等品的概率。

四、(12分)设某种电子元件的使用寿命X(单位：小时)

服从参数为4=0・皎的指数分布，其分布密度为

/(幻=kX~Q

[0，其它1、计算PCX之1000)；2、某设备装有3个这

样的电子元件，求该设备使用1000小时后至少有一只电子元件

正常工作的概率。

五、(12分)袋中装有编号为0、1、1、2四个球，从中接连

一只只有放回摸球，用x表示第一次摸得的号码，丫表示第二次

摸得的号码，

1、求(尤丫)的轶合分布及关于x,丫的边缘分布；2、计算

22

E(X+Y)O

六、(14分)设二维随机变量(x，y)的分布密度为

4孙0<x<l,0<y<l

/（内）=其它

计算HYWX2）；求随机变量k丫的边缘分布密度人3/（y）；判

定X」是否相互独立。

七、（12分）设X~N（（）,1）,求y=x?的分布密度。

工作计划怎么写

一、工作计划的概念

工作计划是指机关、团体、企事业单位的各级机构,对定时

期的工作预先作出安排和打算时所使用的文种。工作计划是行政

活动中使用范围很广的重要公文,也是应用写作的一个重头戏。

二、工作计划的特点

（-）严肃性。工作计划作为机关团体和企事业单位对工作的

规划安排,往往会受到高度重视，因此工作计划的严肃性不可或

缺。

（二）方向性、指导性。工作计划往往是对本机关、本单位的

发展或者工作的要点指明了方向，具有很强的指导性。

（三）战略性。工作计划往往是机关单位发展战略的集中体

现。

（四）科学性和可行性。相关机关单位在制订工作计划的时候,

往往要经过充分的论证和讨论，这就决定了工作计划先天的科学

性和可行性特点。

三、工作计划的分类

工作计划的分类多种多样,大