2025中考数学压轴题每日一题（130题）

★2025初三数学压轴题每日一题第1题★(1)如图1,若∠BAC=60°,BD<CD,∠BAD=α,求∠AGE的度数(用含α的代数式表示);请直接写出此时·的值.CCBB第2页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第2题★2.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3,【初步感知】(1)如图1,连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值.【深入探究】(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED【拓展延伸】(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.CCCC第3页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第3题★(1)如图1所示，点F在边CD上，且联结EF,求证：EF//BC;(2)已知AD=AE=1;①如图2所示，联结DE,如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC,DM与EC交于N.如果∠DMC=∠CEM,BC=4,且CD²=DM·DN,求边CD的长.★2025初三数学压轴题每日一题第4题★4.(2024·连云港)【问题情境】(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍?小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时，求AD的长；第5页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第5题★5.(2024·广西)如图1,△ABC中，∠B=90°,AB=6.AC的垂直平分线分别交AC,AB于点M,0,CO平分∠ACB.(1)求证：△ABC△CBO;(2)如图2,将△AOC绕点○逆时针旋转得到△A'OC”,旋转角为α(0°<α<360°).连接A'M,C'M.①求△A'MC′面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数.第6页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第6题★6.(2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB=90°,点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A.(1)【操作判断】如图①,过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图①中画出PC,图中∠APC的度数为度；(2)【问题探究】(3)【拓展延伸】点M在射线AO上，连接PM,交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点F,第7页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第7题★7.(2024·江西)综合与实践如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点(点D与点A不重合),连接CD,以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90°,连接BE,特例感知(1)如图1,当m=1时，BE与AD之间的位置关系是,数量关系是.类比迁移(2)如图2,当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.拓展应用(3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=6,设AD=x,四边形CDFE的面积为y.①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF=2时，请直接写出AD的长度.★2025初三数学压轴题每日一题第8题★的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.DD第9页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第9题★9.(2024·新疆)【探究】(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.①如图1,当点D在BC上时，连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理由；②如图2,当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理由.【运用】(2)如图3,等边三角形ABC中，AB=6,点E在AC上，CE=2√3.点D是直线BC上的动点，连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长.第10页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第10题★10.(2024·武汉)问题背景如图(1),在矩形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，连接BD,EF,求证：△BCD∽△FBE.问题探究如图(2),在四边形ABCD中，AD//BC,∠BCD=90°,点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG.C问题拓展如图(3),在“问题探究”的条件下，连接AG,AD=CD,AG=FG,直接写出的值.CCC★2025初三数学压轴题每日一题第11题★11.(2024·长春)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的一点(点D不与点B、C(1)当点D是边BC的中点时，求AD的长；(3)连结PN,当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；第11页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第12题★12.(2024·泰安)如图1,在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB,点D,E分别在AB,CB上，(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系：②求证：CD=2BF.第12页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第13题★13.(2024·兰州)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在△上的动点(不含端点),且AN=BM.【初步尝试】(1)如图1,当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请思考并证明；【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3,在△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°,连接BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.第13页(共130页)第14页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第14题★14.(2024·威海)如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,∠ABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°,EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为ycm²,点E的运动时间为x秒.(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求x为何值时，线段DF的长度最短.FF第15页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第15题★如图1,将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论是否一致?若AD交CE于点N,请结合图2说明理由；如图3,将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE,当点D落到AB边上时，连接BE,求线段BE的长.BB★2025初三数学压轴题每日一题第16题★16.(2024·资阳)(1)【观察发现】如图1,在△ABC中，点D在边BC上.若∠BAD=∠C,则AB²=BD·BC,请证明；(2)【灵活运用】如图2,在△ABC中，∠BAC=60°,点D为边BC的中点，CA=CD=2,点E在AB上，(3)【拓展延伸】如图3,在菱形ABCD中，AB=5,点E,F分别在边AD,CD上，∠ABC=2∠EBF,第16页(共130页)第17页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第17题★17.(2024·辽宁)如图，在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=α(0°<a<45°).将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD,过点D作DE⊥BC,垂足为E.于点P,猜想PC与PD的数量关系，并加以证明.折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF.第18页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第18题★18.(2024·齐齐哈尔)综合与实践如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在△ABC中，∠A=90°,将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E.aab(1)【观察感知】如图2,通过观察，线段AB与DE的数量关系是(2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求△BDF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N,则(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P,使,请直接写出线段AP的长度.☆2025初三数学压轴题每日一题第19题★19.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.(一)拓展探究如图1,在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.(1)兴趣小组的同学得出AC²=AD·AB.理由如下：(2)如图2,F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由.(二)学以致用(3)如图3,△ABC是直角三角形，∠ACB=90°连接CD并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.求线段CE的长.第19页(共130页)第20页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第20题★20.(2024·山东)一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠BAC=45°,B(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C,点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.①当α=30°时，如图3,求证：四边形CNPM为正方形；②当30°<a<60°时，写出线段MP,DP,CD的数量关系，并证明；当60°<a<120°时，直接写出线段MP,DP,CD的数量关系.第21页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第21题★21.【定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”,垂足叫做“垂中点”.【应用】(1)如图1,在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AF=√5,CE=2,则AE=;AB=;加以证明；①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；(不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母)若射线CB′与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P,连接图2cc图3图3备用图1图3备用图2第22页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第22题★22.(2023·成都)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点，且为正整数),E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】(1)如图1,当n=1时，兴趣小组探究得出结论：,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当n=2,且点F在线段BC上时，试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).【拓展运用】动的路径长(用含n的代数式表示).求点E从点A运动到点C的过程中，点M运第23页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第23题★23.(2024·山西)综合与探究问题情境：如图1,四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD于点F.猜想证明：(1)判断四边形AECF的形状，并说明理由；深入探究：(2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H.①如图2,当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD,CD交于点M,N,直线AH与线段CD交于点Q.若AB=5,BE=4,直接写出四边形AMNQ的面积.H★2025初三数学压轴题每日一题第24题★24.(2024·烟台)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE.【尝试发现】【类比探究】的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】第24页(共130页)第25页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第25题★25.(2024·河南)综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有(填序号).(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2,四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的长(用含m,n,θ的式子表示).(3)拓展应用如图3,在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.cc图2图1图3第26页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第26题★26.已知二次函数y=-x²+c的图象经过点A(-2,5),点P(x,y),Q(x₂,y₂)是此二次函数的图象上的两个动点.(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点于点N,求线段MN长度的最大值.P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于求证：的值为定值；上，且横坐标为x₁-1,过点M作MN⊥x轴图1图2第27页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第27题★27.(2024·湖北)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L,L与y轴交于点N,设L的顶点横坐标为n,NC的长为d.①求d关于n的函数解析式；②L与x轴围成的区域记为U,U与△ABC内部重合的区域(不含边界)记为W,当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围.备用图第28页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第28题★28.抛物线交x轴于A,B两点(A在B的右边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B,C的坐标；(2)如图(1),连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ//AC,交y轴于点Q.若BC平分线段PQ,求点P的坐标；(3)如图(2),点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E,F两点(点E在x轴下方),线段DE交抛物线于另一点G,连接FG.若∠EGF=90°,求直线DE的解析式.第29页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第29题★29.(2024·宁夏)抛物线2与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C,点P是第四象限内抛物线上的一点.(1)求抛物线的解析式；(3)如图2点F(1,0),连接CF并延长交直线PD于点M,点N是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在一点H,使得以F,M,N,H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.★2025初三数学压轴题每日一题第30题★30.(2024·泰安)如图，抛物线的图象经过点D(1,-1),与x轴交于点A,点B.(1)求抛物线C₁的表达式；(2)将抛物线C₁向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C₂,求抛物线C₂的表达式，并判断点D是否在抛物线C₂上；(3)在x轴上方的抛物线C₂上，是否存在点P,使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图第30页(共130页)第31页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第31题★31.(2024·天津)已知抛物线y=ax²+bx+ca,b,c为常数，a>0)的顶点为P,且2a+b=0,对称轴与x轴相交于点D,点M(m,1)在抛物线上，m>1,O为坐标原点.(I)当a=1,c=-1时，求该抛物线顶点P的坐标；(Ⅱ)当时，求a的值；(Ⅲ)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°,DM=DN,点E在线段MN上，点F★2025初三数学压轴题每日一题第32题★(2)点A(x,y)在抛物线y=-x²+2x上，点B(x₁+t,y₁+h)在抛(i)若h=3t,且x,…0,t>0,求h的值；(ii)若x₁=t-1,求h的最大值.★2025初三数学压轴题每日一题第33题★C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),连接AC,BC,tan∠CBA=4.(1)求抛物线的表达式；段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且件的点Q的坐标.备用图★2025初三数学压轴题每日一题第34题★34.(2024·呼和浩特)在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2bx-4经过点(-1,m).(1)若m=1,则b=,通过配方可以将其化成顶点式为(2)已知点(x₁,y),(x₂,y₂)在抛物线上，关系，并说明理由；(3)若b=0,将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A,B两点，直线与y轴交于点C,点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F,连接AF,CF.求证：第34页(共130页)第35页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第35题★35.(2024·海南)如图1,抛物线y=-x²+bx+4经过点A(-4,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,4),点P是抛物线上一动点.图2(1)求该抛物线的函数表达式；(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；(4)过点A、0、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接AE、AF、EF,判断△AEF的形状，并说明理由.★2025初三数学压轴题每日一题第36题★输入x的值为-2时，输出y的值为1;输入x的值为2时，输出y的值为3;输入x的值为3时，输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图(2).Ⅱ.若关于x的方程ax²+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解，求t的取值范围.Ⅲ.若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之间(含P,Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围.输入r是输出y结束第37页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第37题★37.(2024·济南)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁:y=x²+bx+c经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线C₂:y=x²-2mx+m²-m+2(m≠1),顶点为Q.(1)求抛物线C₁的表达式及顶点D的坐标；(2)如图1,连接AD,点E是抛物线C,对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C₂上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；(3)如图2,连接BD,DQ,点M是抛物线C₁对称轴左侧图象上的动点(不与点A重合),过点M作MN//DQ交x轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积的最小值.第38页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第38题★38.(2024·西藏)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线1.(1)求抛物线的解析式；(2)如图(甲),设点C关于直线1的对称点为点D,在直线1上是否存在一点P,使PA-PD有最大值?若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，请说明理由；,求点M的坐标.甲乙★2025初三数学压轴题每日一题第39题★(1)若抛物线y₁=x²+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x₃,0),(x₄,0),且x₃<x₄,试判断下列每组数据的大小(填写<、=或>):①x₁+x₂.x₃+x₄;②(3)当0,x,1时，y=x²+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为,求b的值.★2025初三数学压轴题每日一题第40题★40.(2024·自贡)如图，抛物线x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，顶点为P.(1)求抛物线的解析式及P点坐标；(2)抛物线交y轴于点C,经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点为D,求线段CD的长；(3)过点P的直线y=kx+n分别与抛物线、直线x=-1交于x轴下方的点M,N,直线NB交抛物线对称轴于点E,点P关于E的对称点为Q,MH⊥x轴于点H.请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论.yA0BP第40页(共130页)第41页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第41题★41.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点.(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的(3)延长CD交x轴于点E,当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB′.将抛物线L平移得到抛物线L',使得点A',B’都落在抛物线L'上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.第42页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第42题★42.(2024·绵阳)如图，抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0),与y轴交于点C,连接AC和BC,点P在抛物线上运动，连接AP,BP和CP.(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中(点P与点A,C不重合),作点P关于x轴的对称点P,连接AP,CP₁,记△ACP的面积为S₁,记△BCP的面积为S₂,若满足S₁=3S₂,求△ABP的面积；(3)在(2)的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q,使得∠CPQ=45°?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第43页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第43题★43.(2024·赤峰)如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.(1)如图1,点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为(2)如图1,腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内?请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计);(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).第44页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第44题★问题情境：如图1,矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A,B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.方案设计：如图2,AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P,与AB交于点0,点P是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C,使∠ACB=90°,用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域，种植串串第二步：在线段CP上取点F(不与C,P重合),过点F作AB的平行线，交抛物线于点D,E.用篱笆沿DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC,BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.草坪冬青萱草草坪冬青萱草花坛冬花坛冬青萱草萱草博彩博黎每浆NMABNBB图2第45页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第45题★45.(2024·重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD//x轴交抛物线于点D,作PE⊥BC于点E,求的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线BC方向平移√5个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF-∠ABC=45°,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.备用图★2025初三数学压轴题每日一题第46题★过点(4,0),顶点为Q.抛物线(1)直接写出a的值和点Q的坐标.(2)嘉嘉说：无论1为何值，将C₁的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C₂上.淇淇说：无论t为何值，C₂总经过一个定点.请选择其中一人的说法进行说理.②作直线1//PQ,当l与C₂的交点到x轴的距离恰为6时，求1与x轴交点的横坐标.(4)设C₁与C₂的交点A,B的横坐标分别为x₄,xʙ,且x<xg,点M在C₁上，横坐标为m(2,m,xg).点N在C₂上，横坐标为n(xmn,t),若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n.★2025初三数学压轴题每日一题第47题★47.(2024·绥化)综合与探究(1)求该抛物线的函数解析式；与直线相交于A,B两点，其中点A(3,4),B(0,1).若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y₁=ax²+bx+c₁(a≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标.(备用图)第47页(共130页)第48页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第48题★48.(2024·日照)已知二次函数y=-x²+(2a+4)x-a²-4a(a为常数).(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；(2)当a+1,x,2a+5(a.-1)时，该二次函数的最大值与最小值之差为9,求此时函数的解析式；(3)若二次函数图象对称轴为直线x=1,该函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为CD的中点，过点M的直线1(直线1不过C,D两点)与二次函数图象交于E,F两点，直线CE与直线DF相交于点P.①求证：点P在一条定直线上；②若,请直接写出满足条件的直线I的解析式，不必说明理由.★2025初三数学压轴题每日一题第49题★★2025初三数学压轴题每日一题第50题★50.(2024·连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx-1(a、b为常数，a>0).(1)若抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；(3)当a=1,b,-2时，过直线y=x-1(1,x,3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH最大值为4,求b的值.xx第50页(共130页)第51页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第51题★51.(2024·湖南)【问题背景】已知点A是半径为r的⊙0上的定点，连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转a(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作⊙0的切线1,在直线1上取点C,使得∠CAE为锐角.【初步感知】(1)如图1,当α=60°时，∠CAE=°;【问题探究】(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交于点F.①如图2,当AC=2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立：②如图3,当时，请补全图形，并求tana及的值.第52页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第52题★52.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.【特殊化感知】(1)如图1,若∠ACB=60°,点D在AO延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为【一般化探究】(2)如图2,若∠ACB=60°,点C、D在AB同侧，判断AD-BD与CD的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】(3)若∠ACB=α,直接写出AD、BD、CD满足的数量关系.(用含α的式子表示)CC图2第53页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第53题★53.(2024·兰州)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得,如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”.例如：如图1,A(2,4),B(2,2),是线段AB外一点，Q(2,3)在PO的延长线上，且,因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”.(1)如图1,已知图形W₁:线段AB,A(2,4),B(2,2),在P₂(-1,-1),P₃(-1,-2)中，是图形W的“延长2分点”;(2)如图2,已知图形W₂:线段BC,B(2,2),C(5,2),若直线MN:y=-x+b“延长2分点”,求b的最小值；的等腰直角三角形DEF上存在点P,使得点P是图形W₃的“延长2分点”.请直接写出t的取值范围.★2025初三数学压轴题每日一题第54题★54.(2024·陕西)问题提出第54页(共130页)第55页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第55题★可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：请你根据该约定，解答下列问题：②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；①该四边形ABCD是“.”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);点E,F,G,H.★2025初三数学压轴题每日一题第56题★56.(2024·广州)如图，在菱形ABCD中，∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),(2)若AB=6+6√3,⊙0为△AEF的外接圆，设⊙0的半径为r.②连接FD,直线FD能否与00相切?如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.CC第57页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第57题★57.(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，○O的半径为1.对于0O的弦AB和不在直线AB上的点C,给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在00上或其内部，且∠ACB=α,则称点C是弦AB的“α可及点”.①在点C₁(2,0),C₂(1,2),)中，点是弦AB的“α可及点”,其中α=.°;②若点D是弦AB的“90°可及点”,则点D的横坐标的最大值为(2)已知P是直线y=√3x-√3上一点，且存在⊙0的弦MN,使得点P是弦MN的“60°可及点”.记点P的横坐标为t,直接写出t的取值范围.第58页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第58题★58.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,以AB为直径的○0交BC于点D,AE⊥OC,垂足为(3)求证：AD与EF互相平分.第59页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第59题★★2025初三数学压轴题每日一题第60题★AF,AD.若AB=AC=5,BC=2√5.第60页(共130页)第61页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第61题★【操作发现】连接DE,与AC相交于点F.如图②,小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值.请求【问题解决】第62页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第62题★62.(2024·河北)已知○O的半径为3,弦MN=2√5平面上，先将△ABC和○O按图1位置摆放(点B与点N重合，点A在○0上，点C在00内),随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动.设BN=x.(2)当OA//MN时，如图2,求点B到OA的距离，并求此时x的值；①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值.N(B)备用图第63页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第63题★延长BF与CA的延长线交于点M,点N在BA的延长线上在直径AB上，∠AHD=90°,点E是线段DH的中点.(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB<CB,★2025初三数学压轴题每日一题第64题★64.(2024·滨州)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题14.如图，在锐角△ABC中，探究之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高.)【得出结论】【基础应用】在△ABC中，∠B=75°,∠C=45°,BC=2,利用以上结论求AB的长.【推广证明】进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足(R为△ABC外接圆的半径).【拓展应用】如图2,四边形ABCD中，AB=2,BC=3,CD=4,∠B=∠C=90°.第64页(共130页)第65页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第65题★65.(2024·绥化)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点，以0为圆心，OC长为半径的00与AD相切于点E,与AC相交于点F.(1)求证：AB与◎0相切；(2)若正方形ABCD的边长为√2+1,求⊙0的半径；(3)如图2,在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点N.当CM:FM=1:4时，求CN的长.★2025初三数学压轴题每日一题第66题★66.(2024·通辽)【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.cc【模型建立】【模型应用】请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C;②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.(注：只需选择一种情况作答)【拓展提升】证AE=2CD.第66页(共130页)第67页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第67题★第68页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第68题★在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率,s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积.【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.【探索发现】(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率P=.(2)如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；..,以此类推，如图5,设计安装n²个喷洒半径均为n7的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率?请判断并给出理由.(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率当y取得最小值时r的值.【问题解决】(4)该公司现有喷洒半径为3√2m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率p=1?(直接写出结果即可)图4图2图5图3第69页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第69题★69.(2024·日照)如图1,AB为00的直径，AB=12,C是00上异于A,B的任一点，连接A为射线AD上一点，连接CD.A【特例感知】(2)若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B,求证：四边形ABCD是平行四边形；【深入探究】若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=√3,连接OD.(3)如图2,当CD与⊙0相切时，求OD的长度；(4)求OD长度的取值范围.第70页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第70题★E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE.(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；第71页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第71题★(2)如图(2),已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”;②∠ACB是钝角(保留作图痕迹，不写作法).(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”.设AD=m,DB=n,用含m、n的代数式表示AC的取值范围(直接写出结果).第72页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第72题★72.(2024·常州)对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.(1)如图1,B、C、D是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中，线段AC的“平移关联图形”是d=(写出符合条件的一种情况即可);(2)如图2,等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”,且满足d=2(保留作图痕迹，不要求写作法);1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足d..3,直接写出r的取值范围.(图1)(图2)(图3)第73页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第73题★角坐标系中，对于函数y图象上任意一点A(m,n),称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”,点B在函数y的“升幂函数”y₂的图象上.点B在函数y₁=2x的“升幂函数”y₂=2x²的图象上.(1)求函数的“升幂函数”y₂的函数表达式.(2)如图1,点A在函数的图象上，点A“关于y,的升幂点”B在点A上方，当AB=2时，求点A的坐标.(3)点A在函数y₁=-x+4的图象上，点A“关于y的升幂点”为点B,①若点B与点A重合，求m的值；BC为邻边构造矩形ABCD,设矩形ABCD的周长为y,与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请直接写出t₂-t₁的值.(图1)(备用图)★2025初三数学压轴题每日一题第74题★74.(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，◎O的半径为1.对于00的弦AB和不在直线AB上的点C,给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C"在00上或其内部，且∠ACB=α,则称点C是弦AB的“α可及点”.①在点C₁(2,0),C₂(1,2),中，点是弦AB的“α可及点”,其中α=°;②若点D是弦AB的“90°可及点”,则点D的横坐标的最大值为(2)已知P是直线y=√3x-√3上一点，且存在⊙0的弦MN,使得点P是弦MN的“60°可及点”.记点P的横坐标为t,直接写出t的取值范围.第74页(共130页)第75页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第75题★【初步理解】(1)现有以下两个函数：①y=x²-1;②y=x²-x,其中，为函数y=x-1的轴点函数.(填序号)(2)函数y=x+c(c为常数，c>0)的图象与x轴交于点A,其轴点函数y=ax²+bx+c与x轴的另一交【拓展延伸】(3)如图，函数为常数，t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M,C两点，在x轴的正半轴上函数为常数，t>0)的轴点函数y=mx²+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值.★2025初三数学压轴题每日一题第76题★(1)如图，点A(-1,0),(2)已知点M(0,3),),对于线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关第77页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第77题★77.(2023·赤峰)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.(1)如图①,矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),在点M₁(1,1),M₂(2,2),M₃(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点“的是(2)点G(2,2)是反比例函数图象上的一个“梦之点”,则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是,直线GH的解析式是y₂=,y₁>y₂时，x的取值范围是;(3)如图②,已知点A,B是抛物线上的“梦之点”,点C是抛物线的顶点.连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状，并说明理由.图①图②第78页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第78题★78.(2023·淮安)综合与实践定义：将宽与长的比值为为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形.(1)概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图(1),这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽(AD)与长(CD)的比值是(2)操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作(如图(2)):第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF,连接CE;第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H,展开，折痕为CG;第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK.试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形.(3)方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图(3)中画出折叠示意图并作简要标注.(4)探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图(4),点E为正方形ABCD边AB上(不与端点重合)任意一点，连接CE,继续(2)中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.图(1)图(2)图(3)图(4)第79页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第79题★交于B,C两点(B在C的左边).(2)如图1,若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A,B',C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(-2,1),(2,0)等均为格点.如图2,直线1与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个，求a的取值范围.图2★2025初三数学压轴题每日一题第80题★如下定义：若点C关于弦AB中点的对称点恰好在00上，则称点C是弦AB的“关联点”.(1)如图，点,弦AB的中点为P.在,C₃(2,0),C₄(2,1)中，弦AB的“关联点”是(2)如果○O的弦AB=√3,直线y=x上存在弦AB的“关联点”Q,直接写出点Q的横坐标x₀的取(3)已知点M(0,2),).对于线段MN上一点S,存在⊙0的弦AB,使得点S是弦AB的“关联点”.若对于每一点S,将其对应的弦AB的长度的最大值记为d,则当点S在线段MN上运动时，d的取值范围是多少?直接写出你的答案.第81页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第81题★DE=DF=6cm,边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合.如图②,△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s.EF与BC交于点P,连接OP,OE.设运动时间为.解答下列问题：(1)当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上?(2)设四边形PCEO的面积为S,求S与t的函数关系式；(3)如图③,过点O作0Q⊥AB,交AC于点Q,△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB.是否存在某一时刻t,使PO//BH?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第82页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第82题★82.(2024·吉林)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分线.动以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧.设点P的运动时间为t(s)(t>0),△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm²).(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明),并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示).(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.★2025初三数学压轴题每日一题第83题★OA的长度是一元二次方程x²-5x-6=0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线相遇时停止运动.设运动时间为t秒(0<t<3.6),△OPQ的面积为S.(1)求点A的坐标；(3)在(2)的条件下，当S=6√3时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N,使得以点0、P、M、N为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.★2025初三数学压轴题每日一题第84题★84.(2024·天津)将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点0(0,0),点A(3,0),点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60°.(I)填空：如图①,点C的坐标为,点B的坐标为;(Ⅱ)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线1⊥x轴，沿直线1折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C".设OP=t.①如图②,若直线1与边CB相交于点Q,当折叠后四边形PO'C"Q与□OABC重叠部分为五边形时，O'C"与AB相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S,当时，求S的取值范围(直接写出结果即可).第84页(共130页)第85页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第85题★速度为2cm/s.以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时间为 (1)当点M在BD上时，求t的值；BB(备用图)★2025初三数学压轴题每日一题第86题★例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M(4,2);若都按乙方式，最终移动到点N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3).(1)设直线I,经过上例中的点M、N,求I的解析式，并直接写出将I向上平移9个单位长度得到的直(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y).其中，按甲②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为l₃,在图中直接画出I₃的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l,L₂,I₃上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终在一条直线上，直接写出此963=L第86页(共130页)第87页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第87题★87.(2023·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°,OC的长是一元二次方程x²-4x-12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D,直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E,动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点同时出发，设运动时间为t秒.(2)连接MN,求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形是矩形.若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由.第89页(共130页)★2025初三数学压轴题每日一题第89题★89.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°,D为AC上一点，CD=√2,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系.初步感知②S关于t的函数解析式为(2)当点P由点B