四川省南充市百校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省南充市百校联考2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线，，则“”的充要条件是（）A. B.C.或 D.或4【答案】A【解析】因为，所以，即.解得或．当时，，，此时两直线重合，舍去；当时，，，此时．故“”的充要条件是“”．故选：A.2.已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】对于A，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一组基底.所以选项A不正确；对于B，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则B不正确；对于C，设，所以，x，y无实数解，所以，，不共面，能构成空间的一组基底，则C正确；对于D，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则D不正确．故选：C.3.过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为方程表示圆，所以，解得．又点在圆外，所以，解得，所以t的取值范围为．故选：D.4.在四面体中，点满足，为的中点，若，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】B【解析】由题意知，因为，所以，则.故选：B.5.已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因为，，则，又平面的一个法向量为，所以点Q到平面的距离为．故选：A．6.在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】由，，，得，，所以，．又，，平面，所以平面．因为，所以，所以．故选：D.7.若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线为过点的动直线，曲线，即为半圆，圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图，当直线与半圆相切时，有，解得；当直线过点时，有，即；因为直线与半圆有两个不同的交点，所以，则的取值范围是.故选：B.8.如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：翻折前，平行四边形中，，，则，翻折后，则有，，由题意可得，，，设二面角的大小为，则，由，得，因为，所以，解得，则，故二面角余弦值为.解法二：翻折前，在平行四边形中，，，则，则，翻折后，则有，，，设二面角的大小为，则，由题意可得，，，因为，故，即，故，因为，所以．故二面角余弦值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则m只有一个实数解D.若与的夹角为钝角，则【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，A正确．对于B，因为，所以，得，B正确．对于C，因为在上的投影向量为，所以，即，化简可得，因为，所以m有两个实数解，C错误．对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线，所以，解得，假设，此时无解，所以与的夹角为钝角，则，D错误．故选：AB.10.已知圆，下列说法正确的是（）A.若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为B.圆上有4个点到直线的距离为C.若圆与圆没有公切线，则的取值范围为D.过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点【答案】AB【解析】圆的方程为，该圆的圆心为，半径．选项A：，点在圆内，则圆心到过点的直线的距离，，故A正确；选项B：圆心到直线的距离，又圆的半径为3，圆上有4个点到直线的距离为，故B正确；选项C：圆的圆心为，半径为，，圆与圆没有公切线，两圆内含，，即，解得16，的取值范围为，故C错误；选项D：设，则以为直径的圆为，整理得，直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得，整理得，令，解得，直线必过定点，故D错误．故选：．11.如图，正方体的棱长为2，F是线段的中点，E是线段上的动点，下列结论正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.直线与平面所成角正弦值为D.直线与直线所成角的余弦值的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A：，故A正确．对于B：如图，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面．因为，所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，即，那么，所以三棱锥的体积，故B错误．对于C：连接，，如图以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，．因为平面就是平面，不妨设平面的一个法向量为，因为，所以有，令，则，则平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确．对于D：，，，设，且，则．设直线与直线所成的角为，则．令，因为，所以，，所以．设，则，.，则，所以，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为______．【答案】【解析】直线l的倾斜角为，则斜率为，又过点，所以直线l的方程为，故直线l的一般式方程为．故答案为：.13.过点作圆的切线，切点为，则______．【答案】【解析】连接、，易知圆心，半径为，因为是圆的切线，所以．又，所以．故答案为：.14.对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______．【答案】【解析】易知，，．因为P在上底面内（含边界）运动，且，所以，，即P在上底面内，点P在以为圆心，1为半径的圆周上，可设，，，所以，．因为，所以，则，从而．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明：（1）；（2）平面．（1）证明：∵，，∴．由底面，得．以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，又，M为棱的中点．则，，，，，．∵，，∴，∴，则．（2）证明：∵，，∴．由底面，得．又，∴平面，则向量是平面的一个法向量．∵，且平面，∴平面．16.设直线与．（1）若，求m的值；（2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值．解：（1）因为，所以，解得或，当时，不是直线，舍去，所以．（2），可化为．因为与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以，则，所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，所以当时，三角形的面积S取得最大值．17.如图，在直三棱柱中，，，，的中点分别为D，E，F．（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在直三棱柱中，E，F分别为矩形的边，的中点，则，，又，所以．因为，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解：在直三棱柱中，平面，由（1）知，，则平面，因为平面，所以．因为平面，所以是与平面所成的角，即．又，设，则，，．以E为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，得．设平面法向量为，则，取，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值是．18.已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）写出圆与圆的一条公切线方程；（不需要写出解题过程）（3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）线段的中垂线方程为，即，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心.解方程组得即.因为圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）因为，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为；圆与圆的方程相减得公切线；两圆的连心线所在直线方程为，即，所以直线与交点为，则另外一条公切线过点，设，因为原点到的距离为4，所以，解得，所以，即，综上，两圆的公切线方程有或或.（3）显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有.当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两点.由得，所以，且，由，得，即，所以，整理得将代入上式可得直线即，该直线恒过点，所以存在满足条件的定点.19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为，过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程，即，其中．（1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；（2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，，证明：；（3）在斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值．（1）解：由直线的点方向式方程为，可知直线的一个方向向量为，由平面的一般式方程为，可知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．（2）证明：由平面的一般式方程为，可知平面的一个法向量为，由平面的一般式方程