浙江省A9协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市钱塘联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知空间直角坐标系中两点，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】因为，则.故选：B.2.直线的倾斜角是（）A B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，，因为直线的斜率，即，可得，所以直线的倾斜角是.故选：A.3.圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的圆心坐标为.故选：A.4.椭圆的焦距等于（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】由得，所以，，焦距.故选：C.5.已知四面体中，点分别为棱的中点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】连接，则，所以.故选：D.6.已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当圆和圆至少有3条公切线，所以两圆相外切或相离，圆的圆心，圆的圆心，，，当两圆相外切时可得，则，当两圆相离时可得：，则，则，解得：，又因为，可得.故选：C.7.已知直线和直线互相垂直，则的最小值为（）A.-1 B. C. D.1【答案】B【解析】因为直线和直线互相垂直，所以，化简得：，即，所以当时，的最小值为.故选：B.8.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线方程为，，由的重心在直线上，得，则，，解得，由消去得，于是，整理得，所以椭圆的离心率.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.正方体中，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，顶点坐标如下：，；A选项，，A错误；B选项，，，平行，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：BCD.10.已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（）A.若点的坐标为，则直线被圆截得的弦长等于B.若直线被圆截得的弦长等于，则为定值C.若直线与圆相交，则点在圆内D.若点在圆上，直线与圆相切【答案】ABD【解析】对于A，点的坐标为，直线，圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长等于，故A正确；对于B，圆心到直线的距离为：，若直线被圆截得的弦长等于，解得：，故B正确；对于C，若直线与圆相交，圆心到直线的距离为：，即，所以点在圆外，故C错误；对于D，若点在圆上，则，圆心到直线的距离为：，此时直线与圆相切，故D正确.故选：ABD.11.已知椭圆的左右焦点为为椭圆上的点（不在轴上），的角平分线交轴于点的面积最大值为4，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】已知椭圆，则.当点P为椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值,根据三角形面积公式，解得，又因为在椭圆中有，因为，所以，故选项A正确；因为PM是的角平分线，根据角平分线性质可得，所以，故选项C正确；由选项A可知，，则，因为P为椭圆上的点（不在轴上），所以设，其中，所以，得到，设，则，，椭圆离心率为，根据焦半径得；因为则，得；当时有最大值2，故选项B项错误；因为，所以，则，故选项D正确.故选:ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且斜率为3的直线方程为__________.【答案】【解析】过点且斜率为的直线方程为，即.故答案为：.13.点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为__________.【答案】【解析】圆的圆心为，过点作圆的切线，切点为，所以，所以，要求的最小值，即求的最小值，的最小值即为到直线的距离，所以，所以.故答案为：.14.在正四棱锥中，为棱上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为__________.【答案】或【解析】因为为棱上一点，且，则，又因为，，所以，所以，因为是正方形，所以，所以，设异面直线和所成角为，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为，所以，得（2）因为，所以.解得：或.16.在中，已知点，点在直线上.（1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程；（2）求周长的最小值.解：（1）直线的斜率为所以边上的高线的斜率为，得边上的高所在的直线方程为，即.（2）因为，所以的周长设点关于直线的对称点为，则解得，所以点关于直线的对称点为，，当且仅当三点共线时取等号.的周长的最小值为.17.已知圆过点，直线的方程为.（1）求圆的方程；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及最短弦长.解：（1）设圆的方程为，由题意可知解得：满足，所以圆的方程为；（2）直线的方程为，即.所以直线过点，即直线过定点圆的圆心为，又因为，即点在圆内，所以当时，直线被圆截得的弦长最短，此时直线的斜率为1，所以直线的斜率为-1，，解得：直线的方程为，，所以直线被圆截得的最短弦长为.18.如图，正四棱台中，，点为棱的中点，点在棱上，且.（1）当时，求证：；（2）求点到平面的距离；（3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：当时，点为的中点，在等腰梯形中，点为的中点，所以，又因为，所以；（2）解：以为坐标原点，为轴，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，设平面的一个法向量是，，所以，得，令，所以，得，又因为，所以点到平面的距离为（3）解：当时，设平面的一个法向量是，，所以，得，令，所以，得所以平面与平面的夹角的余弦值为：，所以平面与平面的夹角的余弦值为19.已知点为椭圆的左焦点，长轴长为为椭圆上的点，当垂直轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，点到直线的距离为，使得为定值；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（3）为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，求证：的面积小于.（1）解：因为，得；又，所以，所以椭圆方程