浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，，所以，故选：D.2.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率，又因为直线过点，所以直线方程为，即.故选：A.3.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，分别是的中点，则.故选：C.4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知双曲线的离心率，即，所以，所以，所以其渐近线方程为.故选：D.5.圆与圆的公共弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆与圆，相减得，圆心到直线的距离，又则公共弦长为．故选：C．6.下列说法正确的是（）A.若，则的夹角是钝角B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.直线经过点，则到的距离为D.直线的方向向量，平面的法向量，则【答案】B【解析】对于A，若，则的夹角是钝角或平角，故A错误；对于B，假设三个向量共面，则，所以，又是空间的一组基底，所以，无解，即不共面，所以也是空间的一组基底，故B正确；对于C，因为，，，则，，，故到的距离为，故C错误；对于D，因为直线的方向向量，平面的法向量，则，故与不共线，即不成立，故D错误；故选：B.7.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于椭圆，，所以椭圆的蒙日圆为，此圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由于圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以，无解，或，解得.故选：D.8.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（）A方程有两个解 B.方程无解C.的最小值为 D.的最大值为【答案】A【解析】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，即.作点关于轴的对称点，则，当三点共线时，取到最小值.，所以有最小值；当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大，所以.因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误；因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知直线l：与n：，下列选项正确的是（）A.若，则或B.若，则C.直线l恒过点D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为【答案】AC【解析】对于A项，若，则，解得或，经检验，均符合，故A项正确；对于B项，若，则，解得或，故B项不成立；对于C项，因为，则由得，所以l恒过点，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立．故选：AC.10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.焦距为4 B.椭圆的标准方程为C. D.的最大值为【答案】ACD【解析】由条件可知，，得，所以椭圆的焦距，椭圆的标准方程为，故A正确，B错误；，，，故C正确；，当点三点共线，且点在之间时，等号成立，故D正确.故选：ACD.11.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（）A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为4C.二面角的余弦值为D.若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为【答案】BCD【解析】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误．该几何体的体积为，B正确．设EF的中点为，连接OB，OH，则,则即二面角的平面角．，，C正确．建立如图所示的空间直角坐标系，设，，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.向量，且，则_______．【答案】【解析】由，得，解得.由，设，即，得，.故，，则，其模长为.故答案为：.13.设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为___________．【答案】【解析】根据题意可知，直线与直线相交，则关于直线的对称点为，直线过，，直线的方程为，即，圆，圆的圆心为，半径为，与圆有公共点，，解得，则的取值范围为.故答案为：.14.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】设，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，则，解得所以，当时，最大值为时，的值为2，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知顶点、、.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.解：（1）由、可知中点为，且，设边的垂直平分线的斜率为，所以垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即.（2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，综上所述，直线的方程为或.16.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1）因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以.（2）因为，，所以=17.已知圆外有一点，过点作直线．（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）点为圆上任意一点，已知，求的最小值．解：（1）由题知，圆心坐标为，半径为，当斜率不存在时，直线的方程为；当斜率存在时，设直线的方程为，则，解得．所以直线的方程为．综上，直线的方程为或.（2）设，则．设，则表示圆上的点与点的距离的平方，可知，又，则点在圆外面．所以，则．则的最小值为．18.在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为在中，，且，所以，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知且都在面内，所以平面.（2）解：由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为，故，由几何关系可知，，故，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，故平面的一个法向量为，设与平面所成角大小为，则有，所以，即与平面所成角的大小为.（3）解：假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，在空间直角坐标系中，设，其中，则，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，故平面的法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，若平面与平面成角余弦值，则满足，化简得，解得或（舍去），即与重合，，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为0．19.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母…表示．（1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；（3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（点在第一象限），与轴交于点，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．（1）设，可得，所以，，则坐标变换公式为，所以对应的二阶矩阵为.（2）设曲线上任意一点变换后所得点坐标，即，此时，整理得，则双曲线的方程为.（3）证明：法一：由题意可知，设直线方程为，联立，消去得，此时，解得，由韦达定理得.又因为点在不同两支，故，解得