浙江省七彩阳光新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省七彩阳光新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线的方程为，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为，设的倾斜角为，则，又，即.故选：C.2.已知向量，，且与互相垂直，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，，与互相垂直则，则.故选：B.3.若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将方程配方得：，所以圆心坐标为,又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限，所以，解得.故选：A.4.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，：，：，显然不成立，当时，，，当时，，即，则，解得或，当时，：，：，此时重合，舍去，∴，∴“”是“”的充要条件.故选：C.5.学校书法社、绘画社、摄影社报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人，总人数为人，抽样比为，抽取人数：书法社，绘画社，摄影社，从5人中随机抽取2人，总组合数为，“至少一名来自绘画社”的对立事件是“两人均不来自绘画社”，组合数为，2名负责人至少有一名来自绘画社的概率．故选：A．6.已知，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线的方向向量，，∵，∴，到直线的距离为.故选：D.7.已知点满足方程，则下列结论正确的是（）A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】C【解析】如图：的圆心,，,即，，故AB错误；令，，的最小值是，故C正确；设则，由图可知当与圆相切时取得最值，设切线方程为，整理得，由题意得两边同时平方，解得.故D错误.故选：C.8.已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆：，半径为，过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，，，，，，，，，在中，由余弦定理得，，则，，，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（）A.B.这100位教职工中年龄在的人数为55C.这100位教职工年龄的众数估计值为45D.这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5【答案】AB【解析】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，所以，解得，A正确.对于B，这100位教职工中年龄在的人数为：，B正确.对于C，这100位教职工年龄的众数估计值为，C错误.对于D，设这100位教职工年龄的中位数的估计值为，则，解得，D错误.故选：AB.10.如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（）A.B.C.与所成角的余弦值为D.在方向上的投影向量是【答案】AD【解析】A选项，，，则，A正确；B选项，，B错误；C选项，，，，C错误；D选项，在方向上的投影向量为，D正确；故选：AD.11.已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为【答案】ACD【解析】∵：与直线：，∴直线必过定点，∴线段的中点为，且.又∵由直线方程可知.点在以为直径的圆上.y：不包括直线,直线：不包括直线，∴点的轨迹是以为直径的圆（除去点),∴，A选项正确.∵，∴又∵圆：上的圆心为,半径，∴圆心到线段的距离，.当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最小值，，B选项错误.,当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最大值，，∴，C选项正确.设直线，,到直线的距离分别为，则，，由梯形中位线可知.∴，又∵圆心到直线的距离，，∴，即，∴，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.在七彩阳光联盟考试中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：80，87，92，106，115，120，128，137，则第70百分位数是______．【答案】120【解析】因为，所以第70百分位数是该组数据由小到大排列的第6个数据120.故答案：120.13.椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______．【答案】或【解析】因椭圆，所以，点在椭圆上，所以，又，所以，在中，，，.故答案为：.14.若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是______．【答案】【解析】由条件给出的向量性质可类比得出时，动点P的轨迹是以为直径的球体，设在上的投影为F，由数量积的几何意义可知，则，即动点Q的轨迹是垂直于且到的距离等于2的平面，如下图所示，建立空间直角坐标系，取中点M，则,所以,易知，，又,可取为平面的一个法向量，则到平面的距离，由图形易知当三点共线，且平面时，此时.故答案为：.四、解答题：共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的三个顶点是，，．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．解：（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为．由于直线过点，所以的直线方程为，即．（2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点．①当直线与平行时，因为，且过点，所以的直线方程为，即．②直线过线段的中点时，有，所以直线方程为，即．综上所述：直线方程为或．16.如图，在三棱台中，，，，，平面，为的三等分点（靠近），为线段中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，由题意知平面，，故以为坐标原点，以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．依题有，，，，所以，，所以所以，即．（2）解：由三棱台可知．依题有，，，，，所以，，．设平面的法向量为，直线与平面所成角为，则，取，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知圆：，点．（1）直线经过点，且与圆交于，两点，若，求的方程；（2）若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由弦长，可知圆心到直线的距离．①当直线的斜率不存在时，且直线过点，即直线的方程为不符合题意；②当直线的斜率存在时，且直线过点，则直线的方程为，即，所以，即，解得或．所以直线的方程为或．（2）依题有，设点，，其中点满足，即，由可知，即，即，则，故有，，即．18.已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点且与椭圆交于,两点，直线,与轴交于点,．（i）若直线过点，求的面积；（ii）求证：，两点横坐标之和为定值．（1）解：依题意有椭圆离心率，上顶点即，由可知，，故椭圆的方程为．（2）（i）解：直线过点和，则直线的斜率为，故直线的方程为，即，即，设，，由得，由韦达定理可知，，，则．点到直线的距离为所以的面积为．（ⅱ）证明：已知，，，①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意；②当直线的斜率为零时，，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意；③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即，由，得．由韦达定理可知，，直线的方程为，直线的方程为，分别令，解得，，则，其中，，所以，其中，所以，故，两点的横坐标之和为定值，得证．19.在平面四边形中，，，，将沿翻折至，为上的动点（不包含端点）．（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上．（i）证明：平面平面；（ii）若球的半径为，求的长度；（2）若，求二面角的余弦值的最小值．（1）（i）证明：在平面四边形中，，，，，在空间中，，，，面，又面，面面，得证．（ii）解：由（i）可知，面面，如图，作平面，以点为坐标原点，以直线，，为