浙江省强基联盟A卷2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省强基联盟A卷2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由,得设直线的倾斜角为，则因为，所以.故选：D.2.在下列函数中，以为最小正周期的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】A选项：的最小正周期为，A选项错误；B选项：的最小正周期为，B选项正确；C选项：的最小正周期为，C选项错误；D选项：的最小正周期为，D选项错误；故选：B.3.设,且,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A：若则;若则,故A错误；对于B：若则,故B错误；对于C：,当且仅当时，即时，等号成立.又.又,故C正确；对于D：若，则即,与题设矛盾，故D错误.故选：C.4.已知圆的方程为，则圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的方程化为标准方程：，所以圆心为．故选：A．5.“”是“直线与直线互相平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为两条直线平行，所以.所以“”是直线与直线互相平行的既不充分也不必要.故选：D.6.在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，以为原点建立如图空间直角坐标系，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，则，，令，解得，，得到，设点到平面的距离为，.故选：D.7.已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，平面且，则三棱锥的外接球的半径为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合，正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为，记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，由正弦定理得：，，而为的中点，则，所以该三棱锥的外接球的半径为.故选：A.8.已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】方法一：当点在轴正半轴上时，由，，结合椭圆的对称性可知为等腰直角三角形，则点，且点在椭圆上，所以，所以；方法二：i）当存在时，设直线为，，，联立直线与椭圆，得到，则，根据韦达定理可得：，，由，即，即，，，，，即，，即，等式两边同时除以，可得，即ii）当不存在时，如方法一；故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆，则下列说法正确的是（）A.椭圆长轴长为4B.椭圆的短轴长为C.若椭圆的离心率为，则D.当椭圆的离心率时，【答案】ACD【解析】椭圆，，长半轴长为，短半轴长，选项A：，椭圆长轴长为4，故A正确；选项B：短轴长，故B错误；选项C：，解得到，故C正确；选项D：，即，，故D正确．故选：ACD．10.已知圆，直线与圆交于，两点，则下列正确的是（）A.的最大值为2B.当圆上恰有3个点到直线的距离为2时，C.面积的最大值为D.，，四边形面积的最大值为6【答案】BC【解析】圆心到直线的距离当时，，，，，故A错；设这三个点到直线距离为，恰有三个点，则圆心到直线距离，，解得，故B正确；，又，，故C正确；设，，，，，令，，，当，即时有最大值为，，故D错.故选:BC.11.在棱长为1的正方体中，为中点，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（）A.点到直线的距离的最小值为1B.三棱锥的体积为定值C.直线平面D.过D，P，E作平面截正方体表面所得的图形一定是四边形或五边形【答案】ABD【解析】对于A，在棱长为1的正方体中，平面，平面，是异面直线，则直线的距离等于与平面的距离1，因此点到直线的距离的最小值为1，A正确；对于B，，而平面，平面，则平面，点到平面的距离为定值，而是定值，因此三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，假设平面成立，由选项B可得平面，而，平面，则平面平面，又，平面，平面，则平面，同理平面，又，平面，于是平面平面，而平面与平面不重合，因此平面平面，与平面平面矛盾，假设错误，C错误；对于D，连接交于点，当时，截面为五边形，如图（1）所示；当或时，截面为四边形，如图（2）（3）（4）所示，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则________.【答案】【解析】，，，故答案为：.13.已知函数，则函数的对称中心为________.【答案】【解析】令，解得且，可知的定义域为，且，所以函数的对称中心为.故答案为：.14.已知圆，是圆上的动点，点，点满足，过点做圆的切线，切点为，则的取值范围为________.【答案】【解析】由知，设，所以，所以点轨迹方程，由圆性质知，因为，所以两圆相交，又因为点不能在圆内，所以，故.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值.（2）从和这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，则和中抽取的人数分别是多少？解：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为，则，解得.（2）因为和这两组的频率比为，所以中抽取人数为，中抽取人数为.16.已知直线，圆；，（1）圆与轴交于，两点，求；（2）若圆与外切，求的值；（3）若直线与两坐标轴交于，两点，在圆上，求面积的取值范围.解：（1）在中令，则，不妨设，，所以.（2），，，，∴，即，∴.（3）在直线中令，则，令，则，不妨设，，所以，设点到的距离为，因为到的距离为，所以，所以.17.已知椭圆经过点，且离心率为，是右焦点，过焦点的直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.解：（1）由题意：，解得，，所以椭圆的方程为：.（2）由（1）可知：，直线与椭圆必相交，且直线的斜率存在，设直线的方程为，，，联立方程，消去y可得，则，，因为，，若，则，可得，与联立解得，，代入，可得，解得，所以直线的方程为，即.18.如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面.（1）求证：底面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求平面与底面所成夹角的余弦值.（1）证明：因为是的中点，，所以.在中，，，，所以，所以，即，因为平面,平面,所以，，底面，底面，所以底面；（2）解：以为原点，为轴，平行于的方向为轴，垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，得：，，，由（1）知底面且，故，，故，，易知平面的法向量，设与平面所成角为；，（3）解：底面的法向量，设平面的法向量，令，解得，故；设平面与底面所成夹角为，.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点，分别在轴，轴上滑动，，点是线段上一点，且，点随线段的滑动而运动.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点在第四象限，点，，直线交轴于点，若与面积相等，求点的坐标；（3）过点的直线交轨迹于，两点，过点与垂直的直线交轨迹于，两点，其中，在轴上方，，分别为线段，的中点，设为直线与直线的交点（点在线段上