浙江省四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.在空间直角坐标系中，已知点，则（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】．故选：C.2.直线和的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以直线和交点坐标为，故选：B.3.已知椭圆的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知：，解得：.故选：D.4.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】由题知，双曲线焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，所以，解得.故选：A.5.下列方程一定表示圆的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，方程表示点，A不是；对于B，方程化为，此方程表示圆，B是；对于C，当时，方程表示点，C不是；对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是.故选：B6.若向量，则（）A.5 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】由题意可得，，则.故选：C7.关于直线的对称点为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设关于直线的对称点为，则，解得.故选：A.8.已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设向量的单位向量为，则，，点B到直线AC的距离为：，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确；B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误；C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确；D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确故选：ACD.10.椭圆与双曲线（）A.有相同的焦点 B.有相等的焦距C.有相同的对称中心 D.可能存在相同的顶点【答案】BCD【解析】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为；由双曲线方程可知其焦点坐标为，因此两曲线焦点不同，即A错误；焦距为，可得B正确；双曲线也关于原点成中心对称，即C正确；当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确；故选：BCD.11.把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（）A.的图象不经过第三象限B.在上单调递增C.的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D.函数不存在零点【答案】ACD【解析】当，时，方程是，当，时，方程是，当，时，方程是，不表示任何曲线，当，时，方程是，函数的图象如图所示，由图知：的图象不经过第三象限，故A正确；在上单调递减，故B不正确；的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C正确；的图象与图象没有交点，故ACD正确，故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.【答案】【解析】过两点直线的倾斜角为，则，又.故答案为：1.13.在长方体中，，，，则________．（用向量，，表示）【答案】【解析】由题意得，故答案为：.14.直线与直线平行，则实数______．【答案】或【解析】由直线与直线平行，得，所以或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.直线的斜率为3且它在轴上的截距为．（1）求直线的方程；（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解：（1）因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为，由斜截式得直线的方程为，即．（2）在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1，则直线与坐标轴所围成的三角形面积．16.如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：（1）向量，，的坐标；（2），的坐标.解：（1）由题意可知：，，，.所以，，.（2），.17.已知点，，圆C的方程为，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．（1）求直线l的方程；（2）求△面积的最小值．解：（1）①圆的圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，l的方程为，易知此直线与圆C相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即．因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离，则，解得，所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或．（2）由题意，得，直线AB的方程为，则圆心到直线AB的距离，∴点P到直线AB的距离的最小值为，∴△的面积的最小值为．18.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其中左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同两点，求弦长.解：（1）由题意可设，将代入得，又，解得，所以椭圆方程为.（2）将直线与椭圆联立，得，设，则，.19.如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分