浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期第二次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选：D.2.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】样本数据的平均数为.故选：C.3.双曲线的渐近线方程为，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】在双曲线中，得，则渐近线方程为，所以.于是.故选：D.4.已知数列的通项公式为，则（）A.34 B.36 C.38 D.40【答案】D【解析】．故选：D.5.圆和圆的交点为，则有（）A.公共弦所在直线方程为 B.公共弦的长为C.线段中垂线方程为 D.【答案】D【解析】对于A，联立两圆方程得，可得，即公共弦所在直线方程为，故错误；对于B，设到直线：的距离为，则有，则弦长公式得：，故错误；对于C，由题意可知线段中垂线为直线，又因为，，所以直线的方程为，故错误；对于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正确.故选：D.6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：本题中汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：.汽车在这三处遇红灯停车一次有以下三种情况：（1）甲红灯，乙丙绿灯：；（2）乙红灯，甲丙绿灯：；（3）丙红灯，甲乙绿灯：；所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为.故选D.7.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点，的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在椭圆中，，当时，，在椭圆中，，则，则，此时不存在，所以A错误；在椭圆中，，则，则，此时不存在，所以B错误；在双曲线中，，当时，，在双曲线中，，则，则，此时存在，所以C正确；双曲线中，，则，则，此时不存在，所以D错误；故选：C.8.如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，，，，则，∴，即，而，即，∴，∴．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.C.当时， D.当或4时，取得最大值【答案】CD【解析】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.10.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.a的值为0.015B.估计这40名学生数学考试成绩的众数为75C.估计总体中成绩落在内的学生人数为105D.估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87【答案】ABD【解析】根据频率和等于1得：，，A正确；由频率分布直方图可知，众数为75，B正确；总体中成绩落在内的学生人数为：，C错误；上面各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，故第80百分位数在内，设第80百分位数约为，则：，，D正确；故选：ABD.11.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若为等边三角形，则B.若，则存在两个不同的点PC.若A，O，P共线，则与x轴平行D.若A，O，P共线，则的最小值为2【答案】ACD〖祥解〗由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D.【解析】由题，抛物线的焦点F为，不妨令，对A选项，若为等边三角形，则，根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直，故点A的横坐标为3，所以，故A正确；对B选项，由题可知，直线的斜率不为0，令直线：，联立直线与抛物线方程有，所以，，所以以为直径的圆的方程为：，令，则，整理可得，故只有一个点P可使，故B错误；对C选项，若A，O，P共线，则直线AP：，令，则，由B选项可知，，所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确；对D选项，由C选项，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆的半径为3，则__________.【答案】【解析】将圆的方程转化为，因为圆的半径为3，所以，即.故答案为：.13.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________.【答案】【解析】由，因为为整数且，所以.

故答案为：.14.已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________【答案】或【解析】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；又，利用余弦定理可知：，化简可得；所以的面积为；设的外接圆半径为，内切圆半径为；由正弦定理可得，可得；易知的周长为，利用等面积法可知，解得；又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即，所以，即可得，所以；离心率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即.（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.等差数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值．解：（1）设公差为d，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为．（2）由，可得，根据二次函数的性质且，可得单调递增，因为，所以当时，，故n的最小值为12．17.已知椭圆的离心率为，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求．解：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：；（2）由题设直线的斜率不为，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故．18.为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为.甲､乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响.（1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？（2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率.解：（1）设“甲在第一轮测试中成绩合格”，“甲在第二轮测试中的成绩合格”，“乙在第一轮测试中的成绩合格”，“乙在第二轮测试中的成绩合格”，则“甲同学在本次测试中成绩合格”，，“乙同学本次测试中成绩合格”，.因为，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大.（2）设“甲在本次测试中成绩合格”，“乙在本次测试中成绩合格”，则，“甲､乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，19.动点到直线与直线的距离之积为，记