2026高考数学一轮复习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系[课程标准要求]1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,直线与圆的方程联立消元所得一元二次方程的判别式为Δ)位置关系相离相切相交图形几何法d

rd

rd

r代数法(判别式法)Δ

0Δ

0Δ

0>=<<=>判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法,用几何法比较简单.2.圆与圆的位置关系(圆O1,圆O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)位置关系图形数量的关系公切线条数外离

4外切

3d>r1+r2d=r1+r2相交

2内切

1内含

0|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.3.两圆相交时公共弦的性质(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)过圆外一点的直线与圆相离.(

)(2)在圆中最长的弦是直径.(

)(3)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(

)(4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(

)(5)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线与圆相切.(

)×√××√2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断√解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离,所以直线与圆相切.故选B.3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(

)√4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(

)A.外离 B.外切

C.相交 D.内切√解析:圆心O1(1,0),半径r1=1,圆心O2(0,-2),半径r2=2,所以圆心距,r1+r2=3,r2-r1=1,所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的位置关系为相交.故选C.5.圆x2+y2=5在点P(1,2)处的切线方程为(

)A.x-2y+3=0 B.2x+y-4=0C.x+2y-5=0 D.2x-y-4=0√解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为,故切线方程为,即x+2y-5=0.故选C.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切√√√(2)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是(

)A.相交、相切或相离 B.相交或相切C.相交 D.相切√解析:(2)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径r=2.直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.故选C.判断直线与圆的位置关系常见的方法:(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.[针对训练](1)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(

)A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心√解析:(1)圆心坐标为(1,-1),半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离,又因为直线不过圆心,所以直线与圆相交但不过圆心.故选D.(2)已知圆C:x2+y2+2x-4y=0,直线l:2x-y-1=0,则圆C与直线l的位置关系是(

)A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定√解析:(2)x2+y2+2x-4y=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5,考点二直线与圆的位置关系的应用角度一弦长问题[例2]过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l的方程.解:圆x2+y2+2x-4y-20=0化为(x+1)2+(y-2)2=25,圆心C(-1,2),半径r=5,由圆的性质可得,圆心到直线l的距离.①当直线l的斜率不存在时,x=-4满足题意;②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.直线和圆的相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长

.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.解:圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心C(1,2),半径r=2;角度二切线问题[例3]已知点P(1,-2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,求过点P的圆C的切线方程.所以点P在圆C外,显然所求切线斜率存在,设切线方程为y+2=k(x-1),即kx-y-k-2=0,则圆心C到切线的距离为d=r,求过一点圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用“圆心与切点的连线垂直于切线”求切线方程.[针对训练](1)(角度一)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,直线与圆C相交于M,N两点,则|MN|=

;

解析:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,则圆的圆心为(3,0),半径r=2,所以圆心(3,0)到直线x-3y+1=0的距离为(2)(角度二)若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为

.

x+2y-3=0解析:(2)根据题意,圆M:x2+y2+4x-1=0,即(x+2)2+y2=5,其圆心M(-2,0).直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则P在直线l上,且MP与直线l垂直.又由P在直线l上,则-a+2b-3=0,解得a=1,b=2,则直线l的方程为x+2y-3=0.考点三圆与圆的位置关系[例4](2024·山东青岛调考)已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.(2)解:将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程是4x+3y-23=0.(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系.(2)当两圆相交时,可利用将两圆方程相减消去二次项的方法求得两圆的公共弦所在直线的方程.[针对训练](2024·河北承德开学考)已知圆C1:x2