《微积分下册》课件 7.1 多元函数的基本概念

第七章多元函数微分学教学内容和基本要求

理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。多元函数概念

多元函数的极限平面点集与n维空间主要内容第一节多元函数的基本概念

多元函数的连续性

一元函数的定义域是实数集R1的子集，一般是一个区间.区间分为开区间和闭区间.虽然“开”与“闭”仅相差两个端点（边界点）,但是对讨论函数的性质却有很大的影响.因此，这种区分是十分必要的.

同样，对多元函数也有类似的问题.为了讨论多元函数的性质，有必要将R1中“开”“闭”概念推广到Rn.1.邻域一、平面点集与n维空间在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为：因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.区域如果对于点集D内任何两点，都可以用折线连接起来，并且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的.（连通集）的直观举例例如连通的开集称为区域或开区域．例.例.区域的定义有界闭区域；无界开区域．例.中的有关概念3.

4.

中两点间的距离设与为中的两点，规定该两点间的距离为：

5.

点的邻域设，为一正数，则中的点集：称为点的邻域.引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式二、多元函数概念1.二元函数的定义解:1例1x

注意定义域的

三种表示法(2)例2解:1(2)图示法：函数的定义域D如右图所示二元函数在三维空间的几何图形三维空间的曲面函数z=f(x,y)的定义域例3下列二元函数的图形是什么？三、多元函数的极限定义1（二重极限）设是二元函数的定义域D的内点或边界点,A是一个确定的数.如果对任给的

，存在使得当：恒有：则称函数在动点趋向于定点时以A为极限,记作：或者：时,n重极限由此可见,二元函数的极限是一种“全面极限”,比一元函数极限复杂得多.通常我们称它为二重极限.也记为：同理可以定义n元函数的极限：[注意]：

所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A例4证明例5设求证：

同一元函数极限类似，二元函数也有相应的四则运算法则，在此就不赘述了。证明根据二元函数极限的加法和乘方的运算法则可知(无穷小与有界相乘仍为无穷小)

如何利用以前所学过的知识求二重极限呢？例6求解原式则所以原式例7

求极限

解其中评注：该题综合运用了转化成一元函数极限、夹逼定理、二重极限的乘法法则三种方法。计算二元函数极限的方法：1.极限的四则运算法则2.夹逼定理3.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量4.转化为一元函数极限在点(0,0)的极限.例8

讨论函数反之，如何判断二重极限不在？解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例8

讨论函数思考：如果(x,y)沿任意直线y=kx

趋于点(0,0)时,函数f(x,y)的极限都存在且相同，是否可以断定f(x,y)在点(0,0)处的极限一定存在呢？解:因为例9确定极限不存在的方法：e10ABCD提交单选题1分0不存在ABCD提交2单选题1分不存在.四、多元函数的连续性1,连续的定义定义32.二元函数连续的性质性质1性质2解:例10解：例11例12一个间断函数的例子即y轴即x轴例13求

由多元连续函数的连续性

如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限

而该点又在此函数的定义区域内

则解答：计算二元函数极限的方法1.函数的连续性2.极限的四则运算法则3.夹逼定理4.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量5.转化为一元函数极限结合二元函数连续的定义和运算法则可知多元初等函数在其定义区域内都是连续的。无定义极限不存在极限存在但不连续连续ABCD提交单选题1分ABCD提交单选题1分3.有界闭区域上连续函数的性质与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在有界的闭区域上,多元连续函数也有如下性质:定理1（有界性）定理2（最值定理）定理3（介值定理）有界闭区域D上的多元连续函数必取得它的最小值与最大值之间的任何一个值.内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数3.多元函数的极限(1)定义有(2)二次极限和二重极限的关系(3)计算二元函数极限的方法1）函数的连续性2）极限的四则运算法则3）夹逼定理4）