《微积分下册》课件 8.1 二重积分的概念与性质

第八章二

重积分教学内容和基本要求

理解二重积分的概念，及其性质,

掌握积分中值定理。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).重点与难点二重积分的计算方法,二重积分的定义引例主要内容第一节二重积分的概念与性质二重积分的性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi表示小区间[xi,xi+1]的长,f(

i)xi表示小矩形的面积,λ为所有小区间长度的最大值.§8.1二重积分的概念与性质多元函数积分学的内容简介

一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。

这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域上的多元函数的情形。

柱体体积=底面积×高特点：平顶柱体体积=？特点：曲顶1.曲顶柱体的体积一、引例曲顶柱体曲顶柱体：以曲面∑：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法。

设有一立体.其底面是xOy

面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.Oyzxz=f(x,y)D如何求曲顶柱体的体积V.步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，

具体步骤见下页:(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn

,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(

i,

i)Di.小平顶柱体的高=f(

i,

i).若记

i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(

i,

i)

i

小曲顶柱体体积

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)

因此,大曲顶柱体的体积

分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得“无限细”,

则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)

其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面积.xyDi如图

当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的质量=面密度×面积.2.平面薄板的质量M.

若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M？(i)

用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn

,

设一平面薄板,所占区域为D,面密度

(x,y)0

连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.0xyDDiDi的面积记作

i.0xyDDi

由于

(x,y)0连续,从而当Di很小时,

(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不变的.

从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作为Di这一小片薄板的面密度.从而,第i

片薄板的质量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的质量(iv)

设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D

R2上的有界函数.

将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(i=1,2,…,n),其面积记为

i.(

i,

i)Di,作积f(

i,

i)

i,

二、二重积分的定义1.定义

若对任意的分法和任意的取法,当

0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,

记为f(x,y)

R(D),并称此极限值

I为f(x,y)在D上的二重积分.记作

即积分区域被积函数面积微元二重积分符号积分变量积分和注1.

定积分二重积分区别在将小区间的长度

xi换成小区域的面积

i,

将一元函数f(x)在数轴上点

i

处的函数值f(

i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(

i,

i)处的函数值f(

i,

i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.

若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积

i=xi

yi,故也将二重积分写成是我们常用的写法注3.

可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D

上可积,

若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.三、二重积分的性质设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.

性质2.性质3.性质4.若在D上有f(x,y)

g(x,y),则特别:(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.若在D上m

f(x,y)

M,则设

f(x,y)

C(D),则(

,

)D,使得性质6.性质7.1.二重积分的几何意义(i)

z=f(x,y)