《微积分下册》课件 9.4 函数的幂级数展开式_第1页
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幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数.我们的问题是：任意给定的函数f(x)2.如果能展开,是什么?3.展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数?§9.4函数的幂级数展开式一、泰勒级数（定理1回答了问题2和问题3）∵泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数证明定义1问题：只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的，那么这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?不一定.即在x=0点任意可导,例如∴f(x)的麦克劳林级数为可见除x=0外,f(x)的麦克劳林级数处处不收敛于f(x).证明必要性充分性二、函数展开成幂级数的方法1.直接法(泰勒级数法)步骤:如条件满足，(2)判定是否成立？例1解例2解例3解注意:有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）将函数展开成关于x的幂级数.双阶乘2.间接法

根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如例4解例4几个重要函数在0点的泰勒级数解

解

(不可少)解法1练习1解法2练习1积分内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数

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