2026届湖南省长沙市明达中学数学高二上期末监测模拟试题含解析

2026届湖南省长沙市明达中学数学高二上期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2．数列中，，，．当时，则n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20193．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.3C.4 D.54．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B.C. D.5．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A.或 B.C. D.6．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：①存在点P，使得直线平面ACF；②存在点P，使得直线平面ACF；③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.其中所有真命题的序号（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④7．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()A. B.2C.－1 D.－48．已知、，直线，，且，则的最小值为（）A. B.C. D.9．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，10．已知集合，，则（）A. B.C. D.11．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.12．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（）A2 B.C.3 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是___；该双曲线的焦距是___14．若椭圆的一个焦点为，则p的值为______15．平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________16．点到抛物线上的点的距离的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积18．（12分）如图，正方体的棱长为4，E，F分别是上的点，且.（1）求与平面所成角的正切值；（2）求证：.19．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.20．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长21．（12分）已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程22．（10分）已知等差数列满足：，（1）求数列的通项公式，以及前n项和公式；（2）若，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出函数的导函数，再求出，然后利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数，求导得：，则，而，于是得：，即，所以曲线在点处的切线方程为.故选：A2、B【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.【详解】因为，，则,即，则，故，又，即，解得.故选：B.3、C【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.故选：.4、C【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.5、A【解析】根据双曲线标准方程的性质，列出关于不等式，求解即可得到答案【详解】由双曲线的性质：，解的或，故选：A6、D【解析】当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出外接圆面积判断④作答.【详解】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，在中，，DG是直角边EF上中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，，而，则，当P与E重合时，，，因此，，③正确；因平面平面，平面平面，，平面，则平面，，在中，，显然有，，由正弦定理得外接圆直径，，三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D【点睛】结论点睛：两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.7、C【解析】详解】，令，解得或；令，解得函数在上递增，在递减，在递增，时，取极大值，极大值是时，函数取极小值，极小值是，而时，时，，故函数的最小值为，故选C.8、D【解析】先由，可得，变形得，所以，化简后利用基本不等式求解即可【详解】因为、，直线，，且，所以，即，所以，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D9、D【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.10、B【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.【详解】∵，，∴故选：B11、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.12、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2×××=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.2【解析】由题意可得，由此可解得m的范围，进一步将方程化为标准方程即可求得焦距【详解】由所表示的曲线是双曲线，可知，解得，当时，方程可变为：，此时双曲线焦距为，当时，m不存在，不合题意；故双曲线的焦距：故答案为：；14、3【解析】利用椭圆标准方程概念求解【详解】因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以故答案：315、【解析】根据直接法，即可求轨迹.【详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，根据题意得，点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆故答案为：16、【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式，配方求出最小值.【详解】设抛物线上的点坐标，则，当时，取得最小值，且最小值为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，结合向量的共线坐标表示求的坐标；（2）向量的坐标运算求边长，由余弦定理求，进而求其正弦值，再应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由题设，，令，则，∴，可得，故.【小问2详解】由（1），，，则，又，则，∴平行四边形的面积.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方体，又是空间垂直问题，∴易采用向量法，∴建立如图所示的空间直角坐标系，欲证，只须证，再用向量数量积公式求解即可.【小问1详解】在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，又，，，∴；【小问2详解】如图，以为坐标原点，直线、、分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则∴，，∴，∴.19、（1）（2）或【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.【小问1详解】由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.由得，则……①，……②，因为，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直线的方程为或，故答案为：，或.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【小问1详解】由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；【小问2详解】由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.21、（1）（2）或【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以