2026年高考数学复习热搜题速递之集合（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之集合（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]3．已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}5．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2}6．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．27．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）8．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}二．多选题（共4小题）（多选）9．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（）A．A∩B＝{0，1，2} B．A∪B＝{x|x≥0} C．（∁UA）∩B＝{﹣1} D．A∩B的真子集个数是7（多选）10．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2（多选）11．下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数（多选）12．下列说法正确的有（）A．设M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且M＝N，则实数m＝0 B．若∅是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则实数a≥0 C．集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P⊇Q，则实数m∈D．设集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一个元素，则a三．填空题（共4小题）13．已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是．14．已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．（1）若n＝3，则这样的集合A共有个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有个．15．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝．16．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值构成集合是．四．解答题（共4小题）17．设集合M＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．18．定义闭集合S：若a，b∈S，则a+b∈S，a﹣b∈S．（1）举一例，真包含于R的无限闭集合；（2）求证：对任意两个闭集合S1，S2，S1⊆R，S2⊆R，存在c∈R，但c∉S1∪S2．19．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a+2}．（1）若a＝﹣1，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．20．已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}时，设xi，xj∈X（1≤i，j≤8），（i）写出方程xi﹣xj＝2的解（xi，xj）；（ii）若方程xi﹣xj＝k（k＞0）至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值．（Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程xi﹣xj＝k（1≤i，j≤8）至少有三组不同的解．

2026年高考数学复习热搜题速递之集合（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCACBDAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDABCACDABD一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【答案】B【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【答案】C【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P＝（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁RP＝（0，2），∵Q＝（1，2]，∴（∁RP）∩Q＝（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】求集合的交集．【专题】计算题．【答案】A【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】C【分析】先根据补集定义求出∁UA，然后再根据交集定义求B∩（∁UA）即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁UA＝{1，6，7}，则B∩（∁UA）＝{6，7}故选：C．【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．5．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【答案】B【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．6．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【专题】集合．【答案】D【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．7．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；集合．【答案】A【分析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，A＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）；故选：A．【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．8．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【答案】B【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（）A．A∩B＝{0，1，2} B．A∪B＝{x|x≥0} C．（∁UA）∩B＝{﹣1} D．A∩B的真子集个数是7【考点】交、并、补集的混合运算；子集的个数；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】求出集合A，然后利用集合交集的定义判断A；由集合并集的定义判断B；由补集以及交集的定义判断C；由集合真子集个数的计算公式判断D．【解答】解：集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}＝{x|x≥-12，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1所以A∩B＝{0，1，2}，故选项A正确；A∪B＝{x|x≥﹣1，x∈Z}，故选项B错误；∁UA＝{x|x＜-12，x∈Z}，所以（∁UA）∩B＝{﹣1}，故选项由A∩B＝{0，1，2}，则A∩B的真子集个数为23﹣1＝7，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了集合的基本运算以及真子集个数的计算，属于基础题．（多选）10．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝2，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．【点评】本题考查集合的包含关系，属于基础题．（多选）11．下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数【考点】集合的表示法．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】ACD【分析】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可．【解答】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A正确；数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B不正确；有理数具有确定性，能构成集合，故C正确；小于π的正整数具有确定性，能构成集合，故D正确；故选：ACD．【点评】本题考查了集合的判断与应用，属于基础题．（多选）12．下列说法正确的有（）A．设M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且M＝N，则实数m＝0 B．若∅是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则实数a≥0 C．集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P⊇Q，则实数m∈D．设集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一个元素，则a【考点】元素与集合关系的判断；集合的相等；集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；命题的真假判断与应用．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】ABD【分析】利用集合相等的定义可判断A，对于B，由题意可知{x|x2≤a，a∈R}≠∅，进而求出a的取值范围，对于C，分Q＝∅和Q≠∅两种情况讨论，分别求出m的值，即可判断，对于D，分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合Δ即可判断．【解答】解：对于A，∵M＝N，∴m+2＝2或2m＝2，解得m＝0或1，当m＝0时，M＝{0，2}，N＝{2，0}，符合题意，当m＝1时，M＝{1，2}，N＝{3，2}，不符合题意，综上，m＝0，故A正确；对于B，若∅是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则{x|x2≤a，a∈R}≠∅，∴a≥0，故B正确；对于C，集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P⊇Q，当Q＝∅时，m＝0，符合题意，当Q≠∅时，则m≠0，∴Q＝{1m}∴1m=1或1解得m＝1或m=1综上，m∈{0，1，12}，故C对于D，集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一个元素，当a＝0时，集合A＝{x|﹣3x+2＝0}＝{23}当a≠0时，则Δ＝（﹣3）2﹣8a≤0，解得a≥9综上，a的取值范围为{0}∪{a|a≥98}，故故选：ABD．【点评】本题主要考查了集合相等的定义，考查了元素与集合的关系，以及集合间的包含关系，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（2，3）．【考点】集合交并补混合关系的应用；集合的包含关系判断及应用；空集及空集的性质．【专题】集合．【答案】见试题解答内容【分析】化简A与B两个集合，A∩B＝∅，本题不用分类，由形式可以看出，A不是空集，由此，比较两个端点的大小就可以求出参数的范围了【解答】解：集合A＝{x||x﹣a|≤1}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≥4或x≤1}．又A∩B＝∅，∴a+1＜解得2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3）．故应填（2，3）．【点评】考查集合之间的关系，通过数轴进行集合包含关系的运算，要注意端点的“开闭”．14．已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．（1）若n＝3，则这样的集合A共有2个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有13个．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】对重新定义问题，要读懂题意，用列举法来解，先看出集合A是集合M的子集，则可能的情况有24种，再分情况讨论．【解答】解：若n＝3，据“累积值”的定义，得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个．因为集合M的子集共有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．故答案为2，13．【点评】这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．15．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝{7，9}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【答案】见试题解答内容【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA，再根据两个集合的交集的定义求得（∁UA）∩B．【解答】解：∵全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，∴（∁UA）＝{4，6，7，9}，∴（∁UA）∩B＝{7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．16．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值构成集合是{0，13【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【答案】见试题解答内容【分析】本题的关键是由A＝{x|x2﹣8x+15＝0}求出A的元素，再由B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，求出a值，注意空集的情况【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A＝{3，5}又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，∴①B＝∅时，a＝0，显然B⊆A②B≠∅时，B＝{1a}，由于B⊆∴1∴a=故答案为：{0，【点评】本题主要考查集合的包含关系、判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．四．解答题（共4小题）17．设集合M＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【答案】见试题解答内容【分析】当M⊆[0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，以及对应的二次函数的对称轴的范围，即可求实数a的取值范围．【解答】解：设y＝x2+2（1﹣a）x+3﹣a，其开口向上，那么满足y＝x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0的x的取值，即为使二次函数的图象在x轴下方的x的取值范围，也就是二次函数与x轴交点之间的部分，当M包含于[0，3]时，二次函数与x轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，即两交点都在[0，3]之间，可知f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a﹣1≤3f（0）＝3﹣a≥0，a≤3f（3）＝9+6（1﹣a）+（3﹣a）＝18﹣7a≥0，a≤180≤a﹣1≤3⇒1≤a≤4，当判别式Δ＜0，即4（1﹣a）2﹣4（3﹣a）＜0，解得﹣1＜a＜2时，M为空集．综上﹣1＜a≤18【点评】本题是中档题，考查集合的运算，构造法与函数的零点与方程的根的知识，考查计算能力，转化思想．18．定义闭集合S：若a，b∈S，则a+b∈S，a﹣b∈S．（1）举一例，真包含于R的无限闭集合；（2）求证：对任意两个闭集合S1，S2，S1⊆R，S2⊆R，存在c∈R，但c∉S1∪S2．【考点】集合的含义；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【专题】新定义；定义法；集合；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据闭集合S的定义进行举例即可；（2）根据闭集合S的定义进行证明．【解答】解：（1）根据闭集合S的定义可知：整数集满足条件．（2）证明：若∀c∈R，均由c∈S1∪S2．则R⫋S1∪S2．因此S1∪S2＝R，∵S1⫋R，S2⫋R，则一定有a∈R，使得a∈S1，a∉S2．一定有存在b∈R，b∈S2．而b∉S1．∴a+b∈R，a+b∈S1∪S2，①若a+b∈S1，a∈S1，则必有（a+b）﹣a＝b∈S1，矛盾．②若a+b∈S2，b∈S2，则必有（a+b）﹣b＝a∈S2，矛盾．因此假设不成立，∴存在c∈R，但c∉S1∪S2．【点评】本题主要考查与集合有关的新定义，正确理解定义的含义是解决本题的关键．19．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a+2}．（1）若a＝﹣1，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【考点】求集合的并集；求集合的交集；集合交集关系的应用．【专题】分类讨论；定义法；集合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）化简集合A、B，根据集合的定义运算即可；（2）利用集合关系列出不等式组，求参数即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥5}，a＝﹣1时，B＝{x|﹣2≤x≤1}；∴A∩B＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，A∪B＝{x|x≤1或x≥5}；（2）∵A∩B＝B，∴B⊆A；①若B＝∅，则2a＞a+2，解得a＞2；②若B≠∅，则a≤2a+2≤-1解得a≤﹣3或a∈∅；综上，a的取值范围是a＞2或a≤﹣3．【点评】本题考查了集合运算以及利用集合之间的关系求参数的应用问题，是基础题．20．已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}时，设xi，xj∈X（1≤i，j≤8），（i）写出方程xi﹣xj＝2的解（xi，xj）；（ii）若方程xi﹣xj＝k（k＞0）至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值．（Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程xi﹣xj＝k（1≤i，j≤8）至少有三组不同的解．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合思想；综合法；集合．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）（i）根据两数之差为2进行解答即可；（ii）以下规定两数的差均为正，利用列举法解答；（Ⅱ）利用反证法行证明．【解答】解：（Ⅰ）（i）方程xi﹣xj＝2的解有：（xi，xj）＝（2007，2005），（2013，2011）（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次，6出现4次，其余都不超过2次，所以k的可能取值有4，6（Ⅱ）证明：不妨设2001≤x1＜x2＜…＜x8≤2017记ai＝xi+1﹣xi（i＝1，2，…，7），bi＝xi+2﹣xi（i＝1，2，…，6），共13个差数．假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而（a1+a2+…+a7）+（b1+b2+…+b6）≥2（1+2+…+6）+7＝49①又(这与①矛盾，所以结论成立．【点评】本题考查集合的理解与应用，反证法证明命题的方法，考查逻辑推理以及计算能力，难度较大．

考点卡片1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式2x+1＞7的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．典例2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；C、M＝{（4，5）}集合M的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集．解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．3．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32由a=-32，得A={故a=-32点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．4．集合的相等【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．5．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．6．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．7．空集及空集的性质【知识点的认识】1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集．2、注意：空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解题方法点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B＝∅；②B⊂A且B≠∅；③B＝A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．【命题方向】一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．8．子集的个数【知识点的认识】1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．【命题方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．解：当x∈Z时，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，∴A的非空真子集的个数为28﹣2＝254个；9．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．10．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{x∈Z解：依题意，A={x∈N|-所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．11．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．12．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}